Question

Hallar la solución de lasiguiente inecuación racional con valor absoluto y comprobar su solución con Geogebra.

|(x-7)/(4x-15)|>8

Answer 1

El problema se resuelve aplicando una de las propiedades del valor absoluto en una inecuación.


| (x - 7) / (4x - 15) | > 8  


(x - 7) / (4x - 15) < -8   ∪   (x - 7) / (4x - 15) > 8   ; Solución


Resolviendo:


(x - 7) / (4x - 15) < -8


[ (x - 7) / (4x - 15) ] + 8 < 0


[ (x - 7) + 8 (4x - 15) ] / (4x - 15) < 0


[ (x - 7) + 32x - 120 ] / (4x - 15) < 0


(33x - 127) / (4x - 15) < 0


Calculando raíces:


33x - 127 = 0


x = 127 / 33   ; raíz del numerador


4x - 15 ≠ 0


x ≠ 15 / 4 ; raíz del denominador


Intervalo a evaluar: (-infinito ; 15/4)


x = 0


[33(0) - 127] / [4(0) - 15]  = 127 / 15  ;  Mayor a cero la solución. No se admite


intervalo a evaluar: (15/4 ; 127/33)


x = 3,8


[33(3,8) - 127] / [4(3,8) - 15] = (125,4 - 127) / (15,2 - 15) = (-1,6 / 0,2)


Valor negativo. Se admite parcialmente la solución (15/4 ; 127/33)


intervalo a evaluar: (127/33 ; infinito)


[ 33,8(4) - 127] / [4(4)  - 15] = (135,2 - 127) / (16 - 15) = 8,2  


Valor positivo. No admite esa solución


Solución parcial → Intervalo: (15/4 ; 127/33)


Resolviendo:


(x - 7) / (4x - 15) > 8


[ (x - 7) / (4x - 15) ] - 8 > 0


[ (x - 7) - 8(4x - 15) ] / (4x - 15) > 0


 (x - 7 - 32x + 120) / (4x - 15) > 0


(-31x + 113) / (4x - 15) > 0


calculando raíces:


-31x + 113 = 0


x = 113 / 31


intervalo a evaluar: (-infinito ; 113/31)


x = 0


[-31(0) + 113 ] / [4(0) - 15] = -113/15 ; Valor negativo. No cumple condición mayor a cero


intervalo a evaluar: (113/31 ; 15/4)


x = 3,7


[-31(3,7) + 113] / [4(3,7) - 15] =  ( -114,7 + 113) / (14,8 - 15) = (-1,3 / -0,2) = (1,3/0,2) ; Valor positivo. Cumple con la condición


intervalo a evaluar: (15/4 ; infinito)


x = 4


[-31(4) + 113] / [4(4) - 15] : valor negativo. No cumple con la condición


Solución parcial→ intervalo: (113/31 ; 15/4)


Solución general: (113/31 ; 15/4) ∪ (15/4 ; 127/33)


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