Question

Hallar la medida del ángulo interior del polígono regular que tiene 54 diagonales.

Answer 1

El número de diagonales de un polígono regular se halla mediante la siguiente fórmula:

$\Large{\boxed{N_{D} = \dfrac{n(n-3)}{2}}}$

Donde:

• $\mathsf{N_{D}}$ es el número de diagonales
• n es el número de lados del polígono

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En este caso, aplicaremos la fórmula, no para calcular el número de diagonales, sino para calcular el número de lados del polígono.

$\small{\textsf{Reemplazamos el n\'{u}mero de diagonales en la f\'{o}rmula y resolvemos:}}$

   $\mathsf{N_{D} = \dfrac{n(n-3)}{2}}$

    $\mathsf{54 = \dfrac{n(n-3)}{2}}$

$\mathsf{54(2) = n(n - 3)}$

  $\mathsf{108 = n(n - 3)}$

  $\mathsf{108 = n^{2} - 3n}$

$\small{\textsf{Tenemos una ecuaci\'{o}n cuadr\'{a}tica. Ordenamos:}}$

$\mathsf{0 = n^{2} - 3n - 108}$

$\boxed{\mathsf{n^{2} - 3n - 108 = 0}}$

$\small{\textsf{Factorizamos:}}$

$\mathsf{(n + 9)(n - 12) = 0}$

$\mathsf{n + 9 = 0}\ \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \ \mathsf{n - 12 = 0}$

$\boxed{\mathsf{n = -9}}\ \ \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \ \ \ \ \green{\boldsymbol{\boxed{\mathsf{n = 12}}}}$

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Consideramos el valor positivo, ya que estamos hallando el número de lados de un polígono.

➜  El polígono tiene 12 lados. Es un dodecágono.

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Luego, debemos encontrar la medida del ángulo interior de un polígono regular, el cual se calcula con la fórmula siguiente:

$\Large{\boxed{\alpha = \dfrac{180^{\circ}(n-2)}{n}}}$

Reemplazamos con la medida del lado, 12:

$\mathsf{\alpha = \dfrac{180^{\circ}(n-2)}{n}}$

$\mathsf{\alpha = \dfrac{180^{\circ}(12-2)}{12}}$

$\mathsf{\alpha = \dfrac{180^{\circ}(10)}{12}}$

$\mathsf{\alpha = \dfrac{1800^{\circ}}{12}}$

$\red{\boldsymbol{\boxed{\mathsf{\alpha = 150^{\circ}}}}}$

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Respuesta.

El ángulo interior del polígono regular mide 150°.

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