Question

hallar la medida de "x" 50 m 120° 20 m
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Answer 1

La medida del lado desconocido "x" del triángulo es de aproximadamente 62.45 metros

Para este problema se pide hallar la medida del lado del triángulo denotado como "x"

Donde

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno para hallar el valor de "x" el cual es el lado faltante del triángulo

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Se tiene un triángulo ABC donde el lado BC (a) y el lado AC (b) equivalen a las medidas conocidas de los lados de 20 metros y de 50 metros respectivamente. Donde ambos lados conocidos del triángulo forman un ángulo de 120°

Ver gráfico adjunto

Dado que conocemos el valor de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para hallar la dimensión de "x", siendo este el tercer lado del triángulo

Hallamos el lado faltante del triángulo - la medida de "x"-

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\bold{c = x}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { x^{2} =( 20 \ m)^{2} + (50 \ m)^{2} - 2 \ . \ 20 \ m \ . \ 50 \ m \ . \ cos(120^o ) }}$

$\boxed {\bold { x^{2} = 400 \ m^{2} + 2500 \ m^{2} - 2000 \ m^{2} \ . \ cos(120^o ) }}$

$\large\textsf{El valor exacto del cos de 120 grados es }\bold{ -\frac{1}{2}= - 0.5 }$

$\boxed {\bold { x^{2} =2900 \ m^{2} - 2000 \ m^{2} \ . \ -0.5 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} = 2900\ m^{2} + 1000 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ x ^{2} } = \sqrt{3900 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {x = \sqrt{ 3900 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { x \approx 62.449979\ m }}$

$\large\boxed {\bold { x \approx 62.45\ metros}}$

La medida del lado desconocido "x" del triángulo es de aproximadamente 62.45 metros