Question

hallar la media diferencial de 80 y 40
plis

Answer 1

Respuesta:

8

Explicación paso a paso:

“Al comparar las seis razones trigonométricas de ángulos agudos, notamos

que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulos

sean complementarios”.

NOTA:

“Una razón trigonométrica de un ángulo es igual a la co-razón del ángulo

complementario.”

RAZÓN CO-RAZÓN

Seno Coseno

Tangente Cotangente

Secante Cosecante

Dado: α + β = 90º, entonces se verifica:

Senα = Cosβ

Tanα = Cotβ

Secα = Cscβ

Así por ejemplo:

A) Sen20º = Cos70º

B) Tan50º = Cot40º

C) Sec80º = Csc10º

Ejemplo

Indicar el valor de verdad según las proposiciones:

I. Sen80º = Cos20º

II. Tan45º = Cot45º

III. Sec(80º – x) = Csc (10º + x)

1



30 U N F V – C E P R E V I

TRIGONOMETRÍA

Resolución

Nótese que dada una función y cofunción serán iguales al evaluar que sus

ángulos sean complementarios.

I. Sen80º ≠ Cos20º; Sin embargo: Sen80º = Cos10º

Porque suman 100° Suman 90°

II. Tan45º = Cot45º

Suman 90°

III. Sec(80º – x) = Csc (10º + x)

Suman 90°

Ejemplo

Resolver el menor valor positivo de “x” que verifique:

Sen5x = Cosx

Resolución

Dada la ecuación sen5x = Cosx; luego los ángulos deben sumar 90º

entonces:

5x + x = 90º

6x = 90º

x = 15º

Ejemplo

Resolver “x” el menor positivo que verifique:

Sen3x – Cosy = 0

Tan2y • Cot30º – 1 = 0

Resolución

Nótese que el sistema planteado es equivalente a:

Sen3x = Cosy 3x + y = 90º (R.T. ángulos complementarios)

Tan2y • Cot30º = 1 2y = 30º (R.T. recíprocas)

De la segunda igualdad: y = 15º

Reemplazando en la primera igualdad:

3x + 15º = 90

3x = 75º

x = 25º

Ejemplo

Se sabe que “x” e “y” son ángulos complementarios, además:

Senx = 2t + 3

Cosy = 3t + 4,1

Hallar: Tan x

TRIGONOMETRÍA

U N F V – C E P R E V I 31

Resolución

Dado: x + y = 90º Senx = Cosy

Reemplazando: 2t + 3 = 2t + 4,1

–1,1 = t

Conocido “t”, calcularemos: Senx = 2(–1, 1) + 3

Senx = 0,8

Senx = 5

4

... (I)

Nota:

Conocida una razón trigonométrica, luego hallaremos las restantes;

graficando la condición (I) en un triángulo rectángulo, tenemos:

3

4

5

x

Por Pitágoras

3

4

Cateto Adyacente

Cateto Opuesto Tanx = =

Razones trigonométricas en ángulos notables

I. Triángulos rectángulos notables exactos

* 30º y 60º

* 45º y 45º

√3

1 2

30º

60º

k√3

1k 2k

30º

60º

√2

1

1

45º

45º

k√2

k

k

45º

45º

32 U N F V – C E P R E V I

TRIGONOMETRÍA

II. Triángulos rectángulos notables aproximados

* 37º y 53º

* 16º y 74º

Tabla de las razones trigonométricas de ángulos notables

30º 60º 45º 37º 53º 16º 74º

Sen )<

Cos )<

Tan )<

Cot )<

Sec )<

Csc )<

)<

R.T.

1/ 2 3 2 / 2 2 / 3 5 / 5 4 2 / 7 2 / 5 24/ 5

3 / 2 1/ 2 2 / 2 4 5 / 5 3 2 / 24/ 5 7/ 25

3 3 / 3 1 3 3 / 4 4 / / 7 7 24 24/

3 3 / 3 1 3 4 4 / 3 7 / 24/ 7/ 24

2

2

2

2

5 3 / 4 5/

5/ 3 5/ 4

25/ 24

25/ 7

25/ 7

2 3 / 3 25/ 24

2 3 / 3

Ejemplo

Calcular:

4 • Sen30º 3 • Tan60º F

10 • Cos37º 2 • Sec45º

+ = +

Resolución

Según la tabla mostrada notamos:

1 4 33

2 F 4 10 2 2

5

⋅+ ⋅

=

⋅+ ⋅

F =

23 5

8 2 10

+ = +

F =

2

1

3 5

37º

53º

4

3k 5k

37º

53º

4k

7 25

16º

74º

24

7k 25k

16º

74º

24k

TRIGONOMETRÍA

U N F V – C E P R E V I 33

Ejemplo

Sea: F(θ) =

9 Sen3 • Cos6 • Csc

2

9 Tan3 • Sec6 • Cot

2

  θ θ θ    

  θ θ θ    

Evaluar para: θ = 10º

Resolución

Reemplazando θ = 10º en “F(θ) tenemos:

F(10º) = Sen30º • Cos60º • Csc45º

Tan30º • Sec60º • Cot45º

Reemplazando sus valores notables tenemos:

F(10º) =

• 2 •1

3

3

• 2

2

1 • 2

1

F(10º) =

3

2 3

4

2

= 8 3

3 2

Racionalizando: F(10º) = 8