Question

Hallar la longitud de la curva $f(x)= x^{3/2}$ en el intervalo [5,8]. Grafique en Geogebra la función, tome un pantallazo y usando Paint señale con colores la sección de la gráfica a la cual se le ha hallado la longitud.

Answer 1

La longitud de la curva $f(x)=x^{3/2}$ en el intervalo [5,8] es 11,83 unidades lineales.

1. Para hallar longitudes de curva en funciones podemos utilizar la siguiente ecuacion integral: $L=\int\limits^a_b {\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2 } } \, dy$, donde a es el intervalo inferior=5 y b el intervalo superior=8.
2. Empezamos a desarrollar $\frac{dx}{dy}$: $\frac{dx}d{y}=\frac{3}{2}y^{1/2}$
3. La ecuacion queda: $\int\limits^8_5 {\sqrt{1+(\frac{3}{2}y^{1/2}  )^2} } \, dy$
4. Luego $\int\limits^8_5 {\sqrt{1+\frac{9}{4}x } } \, dx$
5. Para desarrollar esta integral aplicamos el metodo de sustitucion donde $H=1+\frac{9}{4}x$ y $\frac{dH}{dx}=\frac{9}{4}  entonces  dx=\frac{4dH}{9}$
6. Los nuevos valores a aplicar con esta sustitucion para H son $Si x=8, H=19.\\Si x=5, H=49/4$.
7. Con respecto a H queda la integral $\int\limits^a_\frac{49}{4}  {\sqrt{H}(\frac{4}{9} ) } \, dH\\\\\\\frac{4}{9} \int\limits^a_\frac{49}{4}  {H^{\frac{1}{2} } } \, dH\\\\\frac{4}{9}H^{\frac{3}{2}}/\frac{3}{2}$
8. Aplicando los limites de la integral(19 y 49/4) se obtiene: $L=\frac{4}{9}{\frac{2H^{3/2} }{3} \left \{ {{H1=19} \atop {H2=\frac{49}{4} }} \right.\\=\frac{8}{27}{H\sqrt{H}\left \{ {{H1=19} \atop {H2=\frac{49}{4} }} \right.\\=11.83 unidades lineales$
9. Confirmar la respuesta con la grafica.

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