Question

Hallar la inversa de f(x)=Raíz de 2+5x

Answer 1

Haber para hallar la inversa de una funcion, la funcion debe ser biyectiva para lo cual  primero hay que comprobar si la funcion es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Para comprobar si es inyectiva:
1) El dominio de la funcion debe ser igual
2) Debe cumplir la siguiente condicion:
Para todo x1,x2 E R; f(x1)=f(x2) / x1 = x2

Para comprobar si es sobreyectiva:
1) El Recorrido debe ser igual
2) Debe cumplir la siguiente condicion:
 Para todo Ysub(0) Existe la menos un X (sub) 0 / f(X0) = Yo

INYECTIVIDAD
f(x)=√(2+5x)
1) Para encontrar el recorrido despejo la y de la ecuacion formada.
f(x) = y
Entonces:
y = √(2+5x) "y" es real si y solo si 2 + 5x ≥ 0
5x ≥ -2
x ≥ -2/5
Sol: [-2/5 ; infinito+[
Domf = x E [-2/5 ; infinito+[

2) Compruebo que la condicion es verdadera:
f(x1) = f(x2)
√(2+5x2) = √(2+5x2)
(√(2+5x1))² = (√(2+5x))²
2+5x1 = 2+5x2
5x1 = 5x2
x1 = x2
La condicion es Verdadera por lo tanto f(x) = √(2+5x) es INYECTIVA.


SOBREYECTIVIDAD
f(x) = √(2+5x)
1) Para encontrar el recorrdio de la funcion despejo la "x".
y = √(2+5x)
y² = (√(2+5x))²
y² = 2 + 5x
5x = y² - 2
x = y² - 2   "x" no tiene restricciones por lo que Recf = y E R
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2) Compruebo la condicion
Y0 = √(2+5X0)
X0 = Y0² - 2 
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f(xo) = f((Y0²-2)/5)
        = √(2+5(Y0²-2)/5))
        = √(2+Y0²-2)
         = √Y0²
         = Y0
La condicion es Verdera por lo tanto f(x) = √(2+5x) ES SOBREYECTIVA.

Entonces concluyo que al ser inyectiva y sobreyectiva a la vez f(x) = √(2+5x) es Biyectiva y por lo tanto tiene funcion Inversa.

FUNCION DIRECTA:
f(x) :  [-2/5 ; infinito+[ ⇒ R
          x ⇒ y = √(2+5x)

FUNCION INVERSA:
1) Para encontrar la función inversa de una funcion primero despejamos la "x".
y = √(2+5x)
x = y² - 2
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2) Intercambiamos las variables x por y...... y por x.
y = x² - 2
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3) Le expresamos como funcion inversa.
f∧-1(x) = x² - 2
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* El dominio de una funcion iversa es el recorrido de la funcion directa.
* El recorrido de la funcion inversa es el dominio de la funcion directa.

Entonces la funcion inversa es:
f∧-1(x): R ⇒ [-2/5 ; infinito+[
              x ⇒ f∧-1(x) = x² - 2
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