Question

hallar la integral de 1+sen^2(x)/1-sen^2(x)

Answer 1

∫(1+ sen²x)/(1-sen²x) dx

Sabiendo que: 
sen²x + cos²x = 1
Por ende:
1- sen²x = cos²x

Y que:
1/cos²x= sec²x

∫(1+ sen²x)/(1-sen²x) dx = ∫(1+ sen²x)/cos²x dx

Sumando en el numerador 0: (+1-1)

∫(1+ sen²x)/cos²x dx = ∫(1+ sen²x+1 -1)/cos²x dx
=∫(2+ sen²x-1)/cos²x dx

Separando la integral:

∫(2+ sen²x-1)/cos²x dx = ∫(2/cos²x + (sen²x-1)/cos²x dx
= 2∫1/cos²x dx + ∫(sen²x-1)/cos²x dx
=2 ∫ sec²x + ∫(sen²x-1)/cos²x dx

Ahora podemos notar que la integral de sec²x es directa y es tan x + c, puesto que al derivar tan x obtenemos sec²x.

2 ∫ sec²x + ∫(sen²x-1)/cos²x dx = 2 tanx +c+ ∫(sen²x-1)/cos²x dx 

Ahora para la integral que nos falta por resolver: 

∫(sen²x-1)/cos²x dx 

Podemos multiplicar adentro y afuera de la integral por (-1) sin alterar el resultado:

 ∫(sen²x-1)/cos²x dx =-1 ∫(-1)(sen²x-1)/cos²x dx 

Ahora distribuimos el (-1) dentro de la integral:

-∫(-1)(sen²x-1)/cos²x dx = -∫1-sen²x / cos²x dx

Ya vimos que 1- Sen²x = cos²x:

-∫1-sen²x / cos²x dx = -∫cos²x/cos²x dx = -∫dx = -x + d

Entonces:
∫(1+ sen²x)/(1-sen²x) dx = 2 tanx - x + k

Donde k es una constante y es la suma de las constantes c y d.