Question

Hallar la ecuacion ordinaria de la circunferencia que contiene a los puntos (1, 3) ; (3, -1) y (-3, -3).

Answer 1

Respuesta:

$(x+\frac{4}{7} )^{2} +(y+\frac{2}{7} )^{2} =\frac{650}{49}\\\\(x+0.57143 )^{2} +(y+0.28571 )^{2} =13.26531$ aprox.

Explicación paso a paso:

La ecuación ordinaria de la circunferencia es:

$(x-h)^{2} +(y-k)^{2} =r^{2}$

Para hallar h, k y r debemos reemplazar en x y y los puntos que nos da el enunciado:

1) $(1-h)^{2} +(3-k)^{2} =r^{2}$

2) $(3-h)^{2} +(-1-k)^{2} =r^{2}$

3) $(-3-h)^{2} +(-3-k)^{2} =r^{2}$

E igualamos y reducimos en las ecuaciones 1 y 2, y 2 y 3:

1) y 2): Primera ecuación

$(1-h)^{2} +(3-k)^{2} =(3-h)^{2} +(-1-k)^{2}\\\\(1-2h+h^{2}) +(9-6k+k^{2}) =(9-6h+h^{2}) +(1+2k+k^{2})\\\\10-2h+h^{2}-6k+k^{2} =10-6h+h^{2} +2k+k^{2}\\\\-2h-6k =-6h+2k\\\\-h-3k=-3h+k\\\\2h-4k=0$

2) y 3): Segunda ecuación

$(3-h)^{2} +(-1-k)^{2} =(-3-h)^{2} +(-3-k)^{2}\\\\(9-6h+h^{2}) +(1+2k+k^{2} )=(9+6h+h^{2}) +(9+6k+k^{2})\\\\10-6h+h^{2}+2k+k^{2} =18+6h+h^{2}+6k+k^{2}\\\\-6h+h^{2}+2k+k^{2} =8+6h+h^{2}+6k+k^{2}\\\\-12h-4k-8=0$

E igualamos ambas nuevas ecuaciones:

$2h-4k=-12h-4k-8\\\\14h=-8\\\\h=-\frac{4}{7}$

Y reemplazamos para hallar k

$2h-4k=0\\\\2(-\frac{4}{7})-4k=0\\\\-8-28k=0\\\\28k=-8\\\\k=-\frac{2}{7}$

Finalmente reemplazamos en la ecuación ordinaria cualquier punto y los valores de h y k para hallar el radio al cuadrado:

1)

$(1-h)^{2} +(3-k)^{2} =r^{2}\\\\(1+\frac{4}{7} )^{2} +(3+\frac{2}{7} )^{2} =r^{2}\\\\(\frac{11}{7} )^{2} +(\frac{23}{7} )^{2} =r^{2}\\\\(\frac{121}{49} ) +(\frac{529}{49} )=r^{2}\\\\\frac{650}{49}=r^{2}$

Ahora reemplazamos todo menos los puntos:

$(x+\frac{4}{7} )^{2} +(y+\frac{2}{7} )^{2} =\frac{650}{49}$