Question

Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos A = (1;-4); B = (5; 2) y cuyo centro está sobre la recta L: x - 2y +9=0​

Answer 1

Respuesta:

La ecuación general es : $x^{2}+y^{2}+6x-6y-47=0$

Explicación paso a paso:

Vamos a usar la forma canónica: $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

La aplicamos para el punto A, cuyas coordenadas son: X=1;  Y=-4

Reemplazamos:

$(1-h)^{2}+(-4-k)^{2}=r^{2}$

Desarrollamos los binomios al cuadrado y simplificamos:

$h^{2}-2h+k^{2}+8k+17=r^{2}$   (Ecuación 1)

Ahora aplicamos la forma canónica para el punto B, cuyas coordenadas son:  X=5;  Y=2

Reemplazamos:

$(5-h)^{2}+(2-k)^{2}=r^{2}$

Desarrollamos los binomios al cuadrado y simplificamos:

$h^{2}-10h+k^{2}-4k+29=r^{2}$   (Ecuación 2)

El ejercicio nos dice que el centro Q, cuyas coordenadas son (h, k), está sobre la recta x-2y+9=0. Sustituimos x por h and y por k:  (and es "y" conjunción, para no confundir con y)

$h-2k+9=0$  (Ecuación 3)

Tenemos que trabajar con las ecuaciones 1, 2, 3.

Trabajemos 1, con 2. Podemos eliminar los términos cuadráticos, multiplicando la ecuación 2 por menos 1 y luego la restamos de la ecuación 1

$h^{2}-2h+k^{2}+8k+17=r^{2}\\-h^{2}+10h-k^{2}+4k-29=-r^{2}$

--------------------------------------------

$0+8h+0+12k-12=0$   (Ecuación 4)

Ahora trabajemos con las ecuaciones 3 y 4:

$h-2k+9=0\\8h+12k-12=0$

Despejemos h en 3, para luego sustituirla en 4 y así hallar k:

h=2k-9;  

8*(2k-9)+12k-12=0

16k-72+12k-12=0

28k-84=0

$k=\frac{84}{28}=3$

Ahora averiguamos h en la ecuación 3:

h=2*3-9;   h=6-9;    $h=-3$

Tenemos entonces que las coordenadas del centro son  $Q=(-3,3)$

Ahora necesitamos conocer el radio. Para eso, calculamos la distancia desde el centro a cualquiera de los dos puntos (A o B). Utilicemos B

Usaremos esta fórmula:

$r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Definimos:

$x_{2}=-3\\y_{2}=3\\x_{1}=5\\y_{1}=2$

Reemplazamos;

$r=\sqrt{(-3-5)^{2}+(3-2)^{2}}=\sqrt{65}$

Volvemos a la forma canónica y reemplazamos con las coordenadas de Q (o sea h y k):

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\\(x-(-3))^{2}+(y-3)^{2}=(\sqrt{65}) ^{2}$

$x^{2}+6x+y^{2}-6y+18=65$

$x^{2}+y^{2}+6x-6y-47=0$

Esa es la ecuación pedida

Adjunto la gráfica, con la ecuación, los puntos y el centro.