Question

hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos a)2,5 b)-4,1 y c)-2,-2​

Answer 1

【Rpta.】 La ecuación de la circunferencia es x² + y² - 3y - 14 =0.

                                 ${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

Recordemos que una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo C(h,k), al cuál llamaremos centro.

                                    $\overset{\mathsf{Ecuaci\acute{o}n\:de\:la\:circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\mathrm{x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}}}}$

                                    Donde E, D y F son constantes

En el problema, los puntos que nos da el enunciado debe cumplir la igualdad mencionada, entonces

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ primer\ punto: A=(\underbrace{\mathsf{2}}_{x_1},\underbrace{\mathsf{5}}_{y_1})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_1^2+y_1^2+Dx_1+Ey_1+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (2)^2+(5)^2+D(2)+E(5)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 4+25 + 2D + 5E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 29 + 2D + 5E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ 2D + 5E+F = -29}}}$

 

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ segundo\ punto: B=(\underbrace{\mathsf{-4}}_{x_2},\underbrace{\mathsf{1}}_{y_2})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_2^2+y_2^2+Dx_2+Ey_2+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (-4)^2+(1)^2+D(-4)+E(1)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 16+1 - 4D + 1E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 17 - 4D + 1E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ -4D + 1E+F = -17}}}$

 

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ tercer\ punto: C=(\underbrace{\mathsf{-2}}_{x_3},\underbrace{\mathsf{-2}}_{y_3})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_3^2+y_3^2+Dx_3+Ey_3+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (-2)^2+(-2)^2+D(-2)+E(-2)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 4+4 - 2D - 2E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 8 - 2D - 2E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ -2D - 2E+F = -8}}}$

 

Ordenando la ecuaciones tendremos un sistema de ecuaciones lineales

                                              $\mathsf{ 2D + 5E+F = -29}\\\\\mathsf{ -4D + 1E+F = -17}\\\\\mathsf{ -2D - 2E+F = -8}$

 

Para resolverlo utilizaremos el método de determinantes, por ello escribiremos el sistema en forma matricial

                                               $\left[\begin{array}{rrr|r}2 & 5 & 1 & -29\\-4 & 1 & 1 & -17\\ -2 & -2 & 1 & -8\end{array}\right]$

Calculamos la determinante principal

                                           $\mathsf{\Delta_P =\left|\begin{array}{rrr}2 & 5 & 1\\-4 & 1 & 1\\ -2 & -2 & 1\end{array}\right|=26}$

Como la determinante es diferente que 0 diremos que el sistema tiene solución única, para determinar los valores de D, E y F utilizaremos las determinantes auxiliares.

✔ Determinante auxiliar para D

                                        $\mathsf{\Delta_D =\left|\begin{array}{rrr}-29 & 5 & 1\\-17 & 1 & 1\\ -8 & -2 & 1\end{array}\right|=0}$

✔ Determinante auxiliar para E

                                        $\mathsf{\Delta_E=\left|\begin{array}{rrr}2 & -29 & 1\\-4 & -17 & 1\\ -2 & -8 & 1\end{array}\right|=-78}$

✔ Determinante auxiliar para F

                                        $\mathsf{\Delta_F=\left|\begin{array}{rrr}2 & 5 & -29\\-4 & 1 & -17\\ -2 & -2 & -8\end{array}\right|=-364}$

Finalmente tenemos que:

                                           $\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:D=\dfrac{\Delta_D}{\Delta_P}=\dfrac{0}{26}=0}\\\\\\\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:E=\dfrac{\Delta_E}{\Delta_P}=\dfrac{-78}{26}=-3}\\\\\\\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:F=\dfrac{\Delta_F}{\Delta_P}=\dfrac{-364}{26}=-14}$

 

La ecuación de nuestra circunferencia sería:

                                      $\mathrm{\:\:\:\:\:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}\\\\\\\n\mathsf{x^2+y^2+(0)x+(-3)y+(-14)=0}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{x^2+y^2-3y-14=0}}}}}$

                                          $\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{2 pt}\fbox{C\kern-6.8pt O}\hspace{2 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{2 pt} \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{2pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{2pt} \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}$