Question

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto H(1,6,-2) y corta al plano xy en misma recta que lo hace el plano 3x-y-8z+7=0

Answer 1

El plano xy es el plano z=0
La intersección entre el plano 3x-y-8z+7=0 y el plano z=0 es la recta 3x-y+7=0 (simplemente reemplazando z=0 en la ec. del 1er plano).

Queremos que los puntos de esa recta pertenezcan al plano y también el punto (1,6,-2). Primero verificamos que el punto no está en la recta ya que z no es cero y en los puntos de la recta si.

Despues, hay varias maneras de resolver
Por ejemplo la recta 3x-y+7=0 la podes escribir como y=3x+7 z=0
Podes escribirla de forma parametrica como (x,3x+7,0)=x(1,3,0)+(0,7,0)
Entonces tenes un vector que pertenece al plano si o si que es el generador de la recta es decir el (1,3,0)

Ya que restando dos puntos cualesquiera del plano el resultado tiene que ser también un vector que pertenezca al plano; entonces si elijo el vector H y alguno de la recta, como se que ambos pertenecen al plano, el resultado también va a pertenecer. Entonces otro vector que pertenece al plano es el que resulta de restar H con cualquier punto de la recta
Luego (1,6,-2)-(0,7,0)=(1,-1,-2), por ejemplo, está en el plano.

Haciendo producto cruz entre ambos vectores podes encontrar la normal del plano que es (1,3,0)x(1,-1,-2)
            i  j  k
det      1 3 0
           1-1-2
(-6,-[-2],-1-3)=(-6,2,-4) es la normal del plano.

Luego la ecuación del plano
(-6,2,-4)(x,y,z,)=(-6,2,-4)P
P es algun punto del plano
(-6,2,-4)(x,y,z,)=(-6,2,-4)(0,7,0)
-6x+2y-4z=7*2
-6x+2y-4z=14

H pertenece al plano y la recta y=3x+7 z=0 también ya que
-6x+2(3x+7)-4*0=-6x+6x+14-0=14

Rta: El plano es -6x+2y-4z=14