Question

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L1:x−2=y−12=z+4−3 y que además es perpendicular al plano generado por los puntos P(1;−2;4);Q(−3;2;1);R(−2;3;3)

Answer 1

La ecuación del plano que contiene la recta L₁ y además es perpendicular al plano generado por los puntos P, Q y R es:

π:  x - 25y - 17z - 45 = 0

¿Qué es un vector?

Es un segmento de recta que tiene las siguientes características por tener módulo, dirección y sentido. Se obtiene de la diferencia de dos puntos o por el producto de su módulo y ángulo.

V = P₂ - P₁

o

V = (|V|, α)

¿Qué es el producto vectorial?

Es una operación matricial entre vectores que da como resultado un vector perpendicular a los dos vectores a los que se le aplique.

$AxB=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{array}\right]$

¿Qué es un plano?

Un plano se caracteriza por tener dos dimensiones y contener infinitos puntos y rectas.

La ecuación de un plano: π: N[(x, y, z) - (a, b, c)] = 0

Siendo;

• N: normal del plano
• (x, y, z) - (a, b, c): vector genérico

⇒ Ecuación general del plano π: Ax + By + Cz + D = 0

¿Cuál es la ecuación del plano que contiene la recta L₁ y además es perpendicular al plano generado por los puntos P, Q y R?

La normal del plano se obtiene con el producto vectorial del vector director de la recta L₁ y la normal del plano que contiene los puntos P, Q y R.

V = (1, 2, -3)

La normal del plano que contiene los puntos:

• PQ = (-3-1; 2+2; 1-4) = (-4, 4, -3)
• PR = (-2-1; 3+2; 3-4) = (-3, 5, -1)

Aplicar producto vectorial;

$PQxPR=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-4&4&-3\\-3&5&-1\end{array}\right]$

PQ×PR = [i(-4+15) - j(4-9) + k(-20+12)]

PQ×PR = (11i + 5j - 8k)

PQ×PR = (11, 5, -8)

Aplicar producto vectorial;

$N=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&2&-3\\11&5&-8\end{array}\right]$

N = i(-16 + 15) - j(-8 + 33) + k(5 - 22)

N = (-i -25j - 17k)

Vector genérico;

AB = (x - 2; y - 1; z + 4)

Sustituir;

π: (1, -25, -17)(x-2; y-1; z+4) = 0

π: x - 2 - 25y + 25 - 17z - 68 = 0

π:  x - 25y - 17z - 45 = 0

Puedes ver más sobre ecuación de un plano aquí: https://brainly.lat/tarea/62537303

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