Hallar la ecuación de las rectas que pasan por el punto (4,-2) y distan 2 unidades del origen
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Formamos una familia de rectas que pasan por un punto.
Buscamos la intersección de la familia con una circunferencia de radio 2
La condición de tangencia exige que la ecuación de segundo grado que resulta tenga discriminante nulo.
Circunferencia: x² + y² = 4
Familia de rectas: y + 2 = m (x - 4); y = m x - 4 m - 2
Reemplazamos en la circunferencia:
x² + (m x - 4 m - 2)² = 4; quitamos el paréntesis y factoreamos con x² y x
x² (m² + 1) - x (8 m² + 4 m) + 16 m² + 16 m = 0
El discriminante es b² - 4 a c = 0, (condición de tangencia)
(8 m² + 4 m)² - 4 (m²+ 1) (16 m² + 16 m) = 0
Quitamos paréntesis:
- 48 m² - 64 m = 0
Hay dos soluciones: m = 0; m = -4/3
Las rectas a dos unidades del origen son:
y = - 2
y = - 4/3 (x - 4) - 2 = - 4/3 x + 10/3
Se adjunta dibujo con todos los elementos a escala.
Mateo
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