Question

Hallar la ecuación de la tangente a la parábola con foco F(1,3) y vértice en
V(-2 , 3) , en el punto de abscisa 1.

Answer 1

La parábola tiene dos puntos de abscisa 1, en ellos las rectas tangentes son x-6y+23=0 y x+6y-13=0.

Explicación paso a paso:

Para hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola tenemos que hallar la ecuación de la parábola. Conociendo el foco y el vértice queda:

$F=(x_F,y_F)=(1,3)\\\\V=(x_V,y_V)=(-2,3)$

El vértice y el foco están en la misma recta horizontal y=3, y la distancia entre ellos es p=1-(-2)=3, el signo de este coeficiente es positivo porque el foco está a la derecha del vértice. Entonces la ecuación de la parábola es:

$x-(-2)=3(y-3)^2\\\\x+2=3(y-3)^2$

Ahora, la pendiente de la recta en el punto de abscisa es igual a la derivada de la función en ese punto:

$y-3=\sqrt{\frac{x+2}{3}}\\\\y=\sqrt{\frac{x+2}{3}}+3\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1}{3}}{2\sqrt{\frac{x+2}{3}}}=\frac{1}{6\sqrt{\frac{x+2}{3}}}\\\\\frac{dy}{dx}(1)=\frac{1}{6\sqrt{\frac{1+2}{3}}}=\frac{1}{6};-\frac{1}{6}$

Y el punto de abscisa 1 en la parábola es:

$x+2=3(y-3)^2\\\\1+2=3(y-3)^2\\\\3=3(y-3)^2\\\\(y-3)^2=1\\\\y-3=1=>y=4\\y-3=-1=>y=2$

O sea, las dos rectas tienen que pasar cada una por los puntos (1,2) y (1,4). La primera de esas rectas es:

$y=\frac{x}{6}+b\\\\4=\frac{1}{6}+b\\\\b=4-\frac{1}{6}=\frac{23}{6}\\\\y=\frac{x}{6}+\frac{23}{6}\\\\6y=x+23=>x-6y+23=0$

Y la otra recta es:

$y=-\frac{x}{6}+b\\\\2=-\frac{1}{6}+b\\\\b=2+\frac{1}{6}=\frac{13}{6}\\\\y=-\frac{x}{6}+\frac{13}{6}\\\\6y=-x+13=>x+6y-13=0$