Question

Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x^2 + y^2 +2x -2y -39 = 0 en el punto (4, 5)

Answer 1

x^2 + y^2 +2x -2y -39 = 0 

Primero hallamos las coordenadas del centro de la circunferencia :

C(-C/2 , -D/2)   ... donde C=2   D=-2 

Entonces queda asi :    C(-1,1) 

Ahora el punto (4,5) sera el punto por donde pase la recta tangente ... para ello de los dos puntos que tenemos hallamos la pendiente para poder obtener la ecuacion de la recta tangente .......hallamos pendiente 

pendiente=m=5-(1)/4-(-1)=4/5 ..... entonces m=4/5

ahora hallamos la ecuacion de la recta tangente por medio de la ecuacion punto pendiente ...en este caso como es perpendicular la pendiente se invierte y se agrega el negativo quedando asi : m=-5/4 la pendiente 

y-yo=m(x-xo)
y-5=-5/4(x-4)
4y-20=-5x+20
5x+4y-40=0........Ecuacion de la recta tangente a la circunferencia 

Answer 2

La ecuación de la tangente a la circunferencia en el punto (4,5) es y = -5/4*x + 10

Primero llevamos la ecuación de la circunferencia completando cuadrados para poder obtener el resultado

x² + y² +2x - 2y - 39 = 0

(x² + 2x) + (y² - 2y) = 39

(x² + 2x + 1) + (y² - 2y + 1)  - 2= 39

(x + 1)² + (y - 1)² = 39 + 2

(x + 1)² + (y - 1)² = 41

El centro de la circunferencia es (-1,1)

La recta secante que pasa por el punto (-1,1) y por el punto (4,5) tiene pendiente

m = (5 - 1)/(4 + 1) = 4/5

Entonces la pendiente de la recta perpendicular es -5/4, luego la recta tangente es:

y - 5 = -5/4*(x - 4)

y = -5/4*x + 5 + 5

y = -5/4*x + 10

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