Question

Hallar la ecuación de la recta tangente de la función y realiza la gráfica correspondiente:

a. f (x) = 2x2 en punto x = 2

b. f (x) = x2 + x en punto x = 1

Answer 1

Respuesta:

1. a) Usando la definición, calcula la derivada de f(x)= en x =2.

b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)= en el punto de abscisa x =2,

Solución

a) Se verifica f(2)= 0 y por lo tanto:

f’(2)==

(Se ha simplificado el factor x-2 que estaba en el numerador y el denominador)

b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) tiene la expresión:

y- f(a)=f’(a)(x-a)

(Ya que la derivada en el punto de abscisa x = a, es la pendiente de la recta tangente en el punto (a, f(a))

En este caso f(a)=f(2)=0 y f’(2)=1/4

Con lo q sustituyendo en este caso te queda:

Y -0 = (1/4)(x-2) (ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (2, 0)),

Despejando y = (1/4)x -2 (su ecuación explícita)

2. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x –1 sean paralelas en x = 1.

Solución

Para que la curva sea “paralela” a la recta, la pendiente de la recta tangente en ese punto debe ser igual a la pendiente de la recta, por lo tanto:

-1=-2a.1+5, de donde, 2a=6 y a =3

3. Determinar m para que la tangente a la curva y = -x2-(2m+1)x + m + 2, en x =2, sea paralela a la recta 3x-y +2=0

Solución

Para q sean “paralelas” la tangente a la curva y = -x2-(2m+1)x + m + 2, en el punto de abscisa 2, tiene q tener la misma pendiente que la recta 3x-y +2=0, que en este caso vale 3.

Como la pendiente es la derivada (en x =2), se tiene:

y' = -2x –(2m+1), y’(2)= -4-2m-1=3 de donde 2m=-8 y despejando m =-4

4. Sea la función f(x)= x2+ ax +3, xR. Determinar el valor de a para que la grafica de f tenga una tangente en el punto de abscisa x=1, que sea paralela a la recta 2x+y= 0

Solución

(Ver el problema anterior)

Si queremos que sea paralela a la recta 2x+y=0, la tangente a la gráfica de f tendrá que tener su misma pendiente.

La pendiente de la recta 2x+y= 0 es -2, como la pendiente de la recta tangente a la gráfica es la derivada, por tanto la derivada en x=1 de la función f(x)= x2+ ax +3 debe valer -2.

f’(x)=2x+a y en el punto de abscisa 1, f’(1)=2+a 2+a=-2, de donde a=-4