Question

Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2 + y 2 + 2x − 2y − 39 = 0 en el punto de tangencia T(4,5)

Answer 1

Respuesta:

Ecuación Punto pendiente: $y-5=-\frac{5}{4} (x-4)$

Ecuación Pendiente y ordenada al origen: $y=-\frac{5}{4}x+10$

Ecuación General: $5x+4y-40=0$

Explicación paso a paso:

Para hallar la ecuación de la Recta Tangente a la circunferencia, es necesario convertir la ecuación de la circunferencia de la forma General a la Ordinaria (conocida también como Canónica).

Tenemos: $x^2+y^2+2x-2y-39=0$

Reacomodamos términos:

$(x^2+2x)+(y^2-2y)=39$

Dividimos el coeficiente del término de primer grado entre dos, lo elevamos al cuadrado y lo añadimos a la ecuación (en ambos casos sería 1, ya que dos entre dos es igual que uno, y el uno es el elemento neutro de la multiplicación):

$(x^2+2x+1)+(y^2-2y+1)=39+1+1$

$(x^2+2x+1)+(y^2-2y+1)=41$

Factorizamos los TCP's (Trinomios Cuadrados Perfectos):

$(x+1)^2+(y-1)^2=41$

Así obtenemos que el centro de la circunferencia está en el punto $C(-1,1)$ y su radio es $\sqrt{41}$.

Debemos recordar una importantísima propiedad: Siempre habrá un radio perpendicular a una recta tangente en cualquier punto de la circunferencia; esto nos lleva a deducir lo siguiente:

Obtenemos la pendiente del radio que va desde $C$ hasta $T$ (del centro al punto de tangencia):

$m_r=\frac{y_C-y_T}{x_C-x_T}$

$m_r=\frac{1-5}{-1-4}=\frac{-4}{-5}=\frac{4}{5}$

De nueva cuenta, recordamos la siguiente propiedad: para que una recta sea perpendicular a otra, el producto de sus pendientes debe de ser igual a -1 ($m_r*m_L=-1$).

Resolvemos la siguiente ecuación para encontrar la pendiente de la recta tangente:

$m_r(m_L)=-1$

$\frac{4}{5} (m_L)=-1$

$m_L=\frac{-1}{\frac{4}{5} }$

$m_L=-\frac{5}{4}$

A partir de aquí, podemos plantear la ecuación Punto-Pendiente (considerando la pendiente y el punto de tangencia):

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-5=-\frac{5}{4} (x-4)$

Desarrollamos para obtener la ecuación de la forma $y=mx+b$

$y-5=-\frac{5}{4}x+\frac{20}{4}$

$y-5=-\frac{5}{4}x+5$

$y=-\frac{5}{4}x+10$

También, podemos obtener la Forma General de la Ecuación de la Recta ($Ax+By+C=0$):

$y-5=-\frac{5}{4} (x-4)$

$4(y-5)=-5 (x-4)$

$4y-20=-5x+20$

$5x+4y-20-20=0$

$5x+4y-40=0$

Espero que te haya ayudado.