Question

Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (3,1) y tal que la distancia de esa recta al punto (-1,1) sea igual a 2 raiz cuadrada de 2

Answer 1

Podemos usar el concepto de distancia desde un punto a una recta.

La recta pasa por el punto (3, 1). Su ecuación es de la forma:

y - 1 = m (x - 3) siendo m la pendiente, valor a determinar.

La forma general de esta recta es m x - y - 3 m + 1 = 0

La distancia del punto (-1, 1) a la recta es 2 √2

Por lo tanto:  2 √2 = [- m - 1- 3 m + 1] / √(m² + 1) = - 4 m / √(m² + 1)

Elevamos al cuadrado:

8 = 16 m² / (m² + 1)

8 m² + 8 = 16 m²: o bien 8 m² - 8 = 0

Finalmente m = 1 ó m = - 1 

En consecuencia hay dos soluciones.

a) y - 1 = - (x - 3)
b) y - 1 = (x - 3)

Las dos rectas son tangentes a la circunferencia con centro en (- 1, 1) y radio 2 √2:

(x +1)² + (y - 1)² = 8

Se adjunta un gráfico con las soluciones

Saludos Herminio