hallar la ecuación de la recta cuya distancia del origen es 5 y que pasa por el punto (1,7)
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Veamos.
Considero una circunferencia de radio 5 con centro en el origen.
Desde el punto se traza una recta que sea tangente a la circunferencia en algún punto. Se sabe que la tangente es perpendicular al radio.
La ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto (1, 7) es:
y - 7 = m (x - 1).
Se realiza la intersección de la recta con la circunferencia. Hay tres posibilidades: la recta corta en dos puntos a la circunferencia, en uno o no la corta.
Se impone la condición que la corte en un punto (recta tangente). Para ello el discriminante de la ecuación que resulta debe ser nulo.
La ecuación de la circunferencia es:
x² + y² = 5² = 25;
Despejamos y de la ecuación de la recta: y = m (x - 1) + 7
y = m x - m + 7; lo reemplazamos en la otra ecuación:
x² + (m x - m + 7)² = 25; quitamos el paréntesis:
x² + (m x)² + m² + 49 - 2 m² x + 14 m x - 14 m - 25 = 0
Se arma la ecuación de segundo grado en x:
x² (1 + m²) + x (14 m - 2 m²) + m² - 14 m + 24 = 0
El discriminante es b² - 4 a c, que deberá ser cero.
(14 m - 2 m²)² - 4 (1 + m²) (m² - 14 m + 24) = 0
Quitando todos los paréntesis resulta:
96 m² + 56 m - 96 = 0; o bien, dividiendo por 8:
12 m² - 7 m - 12 = 0
Es una ecuación de segundo grado en m que, al ser el término independiente negativo) dará dos soluciones reales. Lo que significa que hay dos rectas que cumplen con el enunciado.
Las soluciones son m = 3/4; m = - 4/3
1) y - 7 = 3/4 (x - 1)
2) y - 7 = -. 4/3 (x - 1)
Adjunto gráfica con las soluciones.
Saludos Herminio
Considero una circunferencia de radio 5 con centro en el origen.
Desde el punto se traza una recta que sea tangente a la circunferencia en algún punto. Se sabe que la tangente es perpendicular al radio.
La ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto (1, 7) es:
y - 7 = m (x - 1).
Se realiza la intersección de la recta con la circunferencia. Hay tres posibilidades: la recta corta en dos puntos a la circunferencia, en uno o no la corta.
Se impone la condición que la corte en un punto (recta tangente). Para ello el discriminante de la ecuación que resulta debe ser nulo.
La ecuación de la circunferencia es:
x² + y² = 5² = 25;
Despejamos y de la ecuación de la recta: y = m (x - 1) + 7
y = m x - m + 7; lo reemplazamos en la otra ecuación:
x² + (m x - m + 7)² = 25; quitamos el paréntesis:
x² + (m x)² + m² + 49 - 2 m² x + 14 m x - 14 m - 25 = 0
Se arma la ecuación de segundo grado en x:
x² (1 + m²) + x (14 m - 2 m²) + m² - 14 m + 24 = 0
El discriminante es b² - 4 a c, que deberá ser cero.
(14 m - 2 m²)² - 4 (1 + m²) (m² - 14 m + 24) = 0
Quitando todos los paréntesis resulta:
96 m² + 56 m - 96 = 0; o bien, dividiendo por 8:
12 m² - 7 m - 12 = 0
Es una ecuación de segundo grado en m que, al ser el término independiente negativo) dará dos soluciones reales. Lo que significa que hay dos rectas que cumplen con el enunciado.
Las soluciones son m = 3/4; m = - 4/3
1) y - 7 = 3/4 (x - 1)
2) y - 7 = -. 4/3 (x - 1)
Adjunto gráfica con las soluciones.
Saludos Herminio
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