Question

Hallar la ecuación de la recta cuando pasa por los puntos : A (2;7) y B (5;8)

Answer 1

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,7) y B (5,8) está dada por:

$\large\boxed {\bold { y = \frac{1}{3} \ x \ + \ \frac{19}{3} }}$

Solución

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2,7) y B (5,8)

Para hallar la ecuación de la recta debemos primero determinar su pendiente

La pendiente de una recta se representa mediante la letra “m”

La pendiente es igual al cambio en  y  respecto al cambio en  x

$\boxed{\bold {m = \frac{ cambio \ en \ y }{ cambio \ en \ x } }}$

El cambio en  x  es igual a la resta en la coordenada X (también llamada avance), y el cambio en  y  es igual a la resta en la coordenada Y (también llamada elevación).

$\boxed{\bold {m = \frac{ elevacion }{ avance } }}$

La pendiente esta dada por el cociente entre la elevación y el avance

Siendo la pendiente constante en toda su extensión

Si contamos con 2 puntos que conforman la recta, podemos obtener la pendiente de la recta

La pendiente está dada por

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados

$\boxed{\bold { A (2, 7) \ \ \ B( 5,8)} }$

Hallamos la pendiente

$\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos }$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 8-7 }{ 5-2 } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 1 }{ 3 } }}$

$\large\boxed{\bold {m = -2 }}$

La pendiente de la recta es 1/3

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada

Cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Donde x1 e y1  son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto A (2,7) tomaremos x1 = 2 e y1 = 7

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { \frac{1}{3} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { (2,7) }$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (7) = \frac{1}{3} \ . \ (x - (2) )}}$

$\boxed {\bold { y - 7 = \frac{1}{3} \ . \ (x - 2 )}}$

Reescribimos la ecuación en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal o explícita

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y - 7 = \frac{1}{3} \ . \ (x - 2 )}}$

$\boxed {\bold { y - 7 = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 7 }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 7 \ . \ \frac{3}{3} }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \ \frac{21}{3} }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{3} + \ \frac{19}{3} }}$

$\large\boxed {\bold { y = \frac{1}{3} \ x \ + \ \frac{19}{3} }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta dada