Question

Hallar la ecuacion de la parabola de eje vertical, si pasa por (1,-2) y su vertice esta en (-1,0)

Answer 1

Bueno, depende de la materia en la que quieras exponer el ejercicio, si es en geometría vas a necesitar fórmulas de geoemtría, pero si nos adentramos al área de la matemática, se vuelve más fácil, porque entendemos que la fórmula general para cualquier vil y vullgar parábola tienes la forma,

$f(x)=a x^{2} +bx+c$

donde sabemos que $y=f(x)$ y que, $a,b,c$ son constantes o números, además ya nos dan varias pistas,primero,

$(1,-2)$

ésta coordenada nos indica que, cuando $x=1$ el valor de ye es $y=-2$ nada raro ¿verdad?, podegamos éste análisis en otra notación

 $f(1)=-2$

aún me sigues?...si ¿verdad?, en otras palabras, podemos hacer lo siguiente,

$-2=a(1)^{2} +b(1)+c$

si ¿verdad?, ahora, podemos hablar lo mismo con la otra coordenada, si reemplazamos esos puntos en la ecuación de general de la parábola nos queda,

$0=a(-1)^{2} +b(-1)+c$
entonces tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas, mmm...no se puede resolver ¿verdad?, veamos tenemos el siguiente sistema de ecuaciones,

$\displaystyle\left \{ {{a+b+c=-2} \atop {a-b+c=0}} \right. =\displaystyle\left \{ {{a+b+c=-2} \atop {a+c=b}} \right.$

podmeos reemplazar el segundo resultado de la ecuación en la primera ¿cierto?, entonces nos queda,

$(b)+b=-2 \\ 2b=-2 \\ \\ b=-1$

ya tenemos ese valor, tienes alguna idea de como seguir?....

nos dan un dato adicional, nos hablan de un vértice, el vértice de una parábola siempre va a estar dado por la siguiente formula,

$\displaystyle V_{x} =- \frac{b}{2a}$

ojo, ésta fórmula nos va a dar la coordenada en el eje equis del vértice, entonces ya nos dice que la coordenada del vértice en el eje equis vale -1, entonces, decimos que,

$\displaystyle- \frac{b}{2a} =-1$

pero ya sabemos que b=-1 , entonces

$-\displaystyle \frac{(-1)}{2a} =-1 \\ \\ a=- \frac{1}{2}$

entonces ya tenemos los valores de a y b, pero sabemos que,

$a+c=b \\ c=b-a \\ c=\displaystyle-1 -\left(-\frac{1}{2}\right) \\ \\ c=- \frac{1}{2}$

y ya, entonces la ecuación de nuestra parábola buscada a sido,

$\displaystyle y= -\frac{1}{2} x^{2} -x- \frac{1}{2}$

y ya, ahora si no confías en mi, puedes graficar esa parábola y te darás cuenta que efectivamente pasa por el punto (1,-2) y su vértice está en las coordenadas (-1,0)

espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas