Question

- Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es V (4,-3) y foco es F (2,-3) ​

Answer 1

La ecuación ordinaria o canónica de la parábola solicitada está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (y+3 )^2= -8\ (x-4) }}$

La ecuación de la parábola en la forma general está dada por:

$\large\boxed{ \bold { y^2+8x+6y -23 = 0}}$

Datos:                            

$\bold{V (4,-3)}$

$\bold{F (2,-3)}$

Hallamos la ecuación en la forma ordinaria o canónica de la parábola con V (4,-3) y F (2,-3)

Dado que los valores de las coordenadas en y o de las ordenadas son los mismos para el vértice y el foco

Empleamos la ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica con vértice fuera del origen y eje de simetría paralelo al eje X

Es decir para una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha. O lo que es lo mismo una parábola horizontal

La cual está dada por la siguiente ecuación:

$\large\boxed{ \bold { (y-k)^2= 4p\ (x-h) }}$

Hallamos la distancia focal |p|

Donde este parámetro nos señala la distancia entre el foco y el vértice

$\bold { p = 2-4 }$

$\boxed {\bold { p = -2 }}$

Dado que p < 0 la parábola abrirá hacia la izquierda

Sabemos que el vértice de la parábola dada es:

$\boxed {\bold { V (4,-3) }}$

$\bold {h = 4}$

$\bold {k = -3}$

Reemplazamos los valores conocidos en la forma:

$\large\boxed{ \bold { (y-k)^2= 4p\ (x-h) }}$

$\bold { (y-(-3) )^2= 4 \ . \ (-2)\ (x- (4)) }$

$\large\boxed{ \bold { (y+3 )^2= -8\ (x-4) }}$

Habiendo obtenido la ecuación ordinaria o canónica de la parábola solicitada

Hallamos la ecuación de la parábola en la forma general

La forma general de la ecuación de una parábola que abre a la izquierda o a la derecha, también llamada parábola horizontal está dada por:

$\large\boxed {\bold {A y^{2}+ Bx+ Cy+ D = 0 }}$

Donde la ecuación general de una parábola se obtiene a partir de su ecuación en la forma ordinaria o canónica, desarrollando el binomio al cuadrado y simplificando la expresión

$\boxed{ \bold { (y+3 )^2= -8\ (x-4) }}$

$\bold { y^2+6y +9= -8x +32 }$

$\bold { y^2+6y +9 +8x -32= 0 }$

$\bold { y^2 +8x+6y+9-32 = 0 }$

$\large\boxed{ \bold { y^2+8x+6y -23 = 0}}$

Habiendo determinado la ecuación de la parábola solicitada expresada en la forma general

Se agrega gráfico