Question

Hallar la ecuación de la parábola con las siguientes condiciones. Foco (0;0) y vértice (0;2)

Answer 1

Al identificar los puntos en una recta y encontrado sus elementos, nos damos cuenta de que se trata de un parábola que se mueve en el eje $y$, además de que apunta hacia abajo, entonces la forma que toma como fórmula es:

$x^{2} =-4py \rightarrow \textrm{p=parametro}$

Pero al estar el vértice fuera del origen reformulamos:

$\boldsymbol{(x-h)^{2}=-4p(y-k) }$

Donde $(h,k)$ en este caso es $(0,2)$

El valor del parámetro lo obtenemos al saber la distancia del foco al vértice, o bien del vértice a la recta directriz. En nuestro caso por facilidad lo haremos tomando en cuenta el foco y el vértice, para ello identificamos los puntos y aplicamos distanci entre dos puntos:

$F(0,0) \rightarrow x_{1}=0;\:y_{1}=0 \therefore V(0,2) \rightarrow x_{2}=0;\:y_{2}=2$

$d=\sqrt{(x_{2}- x_{1} )^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\rightarrow \textrm{Sustituyendo:}\\ d=\sqrt{(0-0)^{2}+ (2-0)^{2} }\rightarrow d=\sqrt{4}\Rightarrow \boxed{d=2}$

En este caso $d=p$, entonces $p=4$.

Ahora, reemplazamos en la ecuación modelo:

$(x-0)^{2}=-4(2)(y-2) \rightarrow x^{2} =-8(y-2)$

Aplicamos Propiedad Distributiva:

$x^{2} =-8y+16 \rightarrow -8y=x^{2} -16 \rightarrow \textrm{Despejamos}\:y:\\y=\dfrac{x^{2}-16 }{-8}\rightarrow y=\dfrac{x^{2} }{-8}+\dfrac{-16}{-8} \Rightarrow \boxed{\boxed{y=-\frac{x^{2} }{8}+2 }}$

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Espero haberte ayudado, saludos cordiales, AspR178 !!!!!!!!