Hallar la ecuacion de la parabola asi como la directriz y longitud del lado recto si su vertice esta en el punto V(3,3) F(3,1)
Respuestas a la pregunta
Estando el foco debajo del vértice, la parábola abre hacia abajo.
Su ecuación es (x - 3)² = - 2 p (y - 3)
Donde 2 p es la longitud del lado recto.
p/2 es la distancia entre el vértice y el foco, 2 para este caso.
p/2 = 2; 2 p = 8
La ecuación es (x - 3)² = - 8 (y - 3)
Coordenadas del lado recto:
L(3 - 4, 1) = (-1, 1)
R(3 + 4, 1) = (7, 1)
Adjunto dibujo.
Mateo
La ecuación de la parábola es:
x² - 6x + 8y - 15 = 0
Su directriz es: y = 5 y la longitud del lado recto es de 8 unidades de longitud.
Explicación paso a paso:
Ya que se tienen el foco y el vértice ubicados en una línea vertical, la parábola es de eje focal vertical, por lo que la ecuación canónica es:
(x - h)² = ±4p(y - k)
donde
- (h, k) son las coordenadas del vértice
- p es la distancia, sobre el eje, del vértice al foco y a la directriz.
Calculamos la distancia p a partir de las coordenadas del vértice y el foco.
Ambos puntos están ubicados en la recta x = 3, y hay entre ellos 2 unidades de distancia (p = 2). Además, el foco se encuentra por debajo del vértice, lo que implica que la parábola abre en sentido negativo (hacia abajo).
Parábola de eje vertical con: h = 3 k = 3 p = 2
Ecuación:
(x - 3)² = -4(2)(y - 3) ⇒ (x - 3)² = -8(y - 3) ⇒
x² - 6x + 8y - 15 = 0
La directriz es una recta perpendicular al eje focal que cruza a este a una distancia p fuera de la parábola, en este caso, hacia arriba.
Directriz: y = 5
El lado recto es una cuerda focal perpendicular al eje focal y su longitud viene dada por:
| LR | = | 4 p | = | (4) (2) | = 8 unidades de longitud
La ecuación de la parábola es:
x² - 6x + 8y - 15 = 0
Su directriz es: y = 5 y la longitud del lado recto es de 8 unidades de longitud.
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