Question

Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen; uno de sus vértices es el punto (0,5) y uno de sus focos es el punto (0,4).

Answer 1

Respuesta:

$\frac{x {}^{2} }{9} + \frac{y {}^{2} }{25} = 1$

Por tener uno de sus vértices y focos con coordenada 0 en x y un valor numérico en y, se trata de una elipse vertical, Dada su ecuación canónica:

$\frac{x {}^{2} }{b {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{a {}^{2} } = 1$

Donde el parámetro a, se obtiene de los vértices:

V1 ( 0 , a ) V2 ( 0 , -a )

En este caso, a vale 5.

El parámetro b se obtiene al despejar la condición de una elipse:

$a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2}$

Donde c, se obtiene de las coordenadas de los focos:

f1 ( 0 , c ) f2 ( 0 , -c )

En este caso, c vale 4

Obtenemos el parámetro b:

$b = \sqrt{a {}^{2} - c {}^{2} } \\ b = \sqrt{5 {}^{2} - 4 {}^{2} } \\ b = \sqrt{25 - 16} \\ b = \sqrt{9} \\ b = 3$

Ahora únicamente reemplazamos valores en la ecuación:

$\frac{x {}^{2} }{3 {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{5 {}^{2} } = 1 \\ \frac{x {}^{2} }{9} + \frac{y {}^{2} }{25} = 1$