Question

Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, foco de F(3,0) y la excentricidad e =0.6.

Answer 1

La ecuación de la elipse es $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

Explicación paso a paso:

Si la elipse tiene centro en el origen de coordenadas, la ecuación tendrá la forma:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$

Si uno de los focos está en F(3,0), la semi-distancia focal c es de 3 unidades (porque F está a 3 unidades del centro), entonces, podemos hallar uno de los semiejes teniendo la excentricidad;

$\epsilon=\frac{c}{a}\\\\a=\frac{c}{\epsilon}=\frac{3}{0,6}=5$

Con la excentricidad también se puede hallar la medida del otro semieje:

$\epsilon=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\\\\\epsilon^2=1-\frac{b^2}{a^2}\\\\b^2=a^2(1-\epsilon^2)=5^2(1-0,6^2)=16$

Entonces, la ecuación de la elipse queda $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$