hallar la ecuación de la cuerda focal de la elipse 3x^2+4y^2=48, cuya longitud es de 7 unidades
Respuestas a la pregunta
3x²+4y²=48 ; x²/16 + y²/12=1 donde a²=16 . b²=12
de esto a²=b²+c² ⇒c=+-2 con esto los focos son (2,0) (-2,0)
analizamos los puntos donde se interseca la ecuación de la cuerda focal y elipse
sea la pendiente de la cuerda focal m=y/(x-2) ⇒m(x-2)=y
la ecuación de la elipse 3x²+4y²=48
como sabemos estas dos ecuaciones se cortan en dos puntos
m(x-2)=y ...(1)
3x²+4y²=48 ...(2)
dejando la ecuación (2) en función de x
3x²+4(m(x-2))²=48
(3+4m²)x²-16m²x+(16m²-48)=0
sea x₁ , x₂ las raíces de la ecuación, por propiedades de las ecuaciones
x₁+x₂= (16m²)/(3+4m²)
pero:
AF₂=a-x₁e , F₂B=a-x₂e , recordemos e=c/a=2/4=1/2
pero AB=7
AF₂+F₂B=7
a-x₁e+a-x₂e=7
2a-e(x₁+x₂)=7
2a-(1/2)(16m²)/(3+4m²)=7
8-(1/2)(16m²)/(3+4m²)=7
(1/2)(16m²)/(3+4m²)=1
(16m²)/(3+4m²)=2
(8m²)=3+4m²
4m²=3
m=+-√3/2
remplazando en (1)
(+-√3/2)(x-2)=y
AUTOR: SmithValdez
