Question

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(3, 1) y es tangente a la recta: 3x − 4y + 5 = 0

Answer 1

La ecuación de la circunferencia solicitada está dada por:

Forma Ordinaria o Canónica

$\large\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y-1)^2=4 }}$

Forma General

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-6 x -2y+6 = 0 }}$

Solución

a) Calculamos el radio de la circunferencia

Empleando la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta

La cual está dada por:

$\large\boxed {\bold {d = \left|\frac{A \ (x_{1}) + B \ ( y_{1} )+ C }{ \sqrt{A^{2}+B ^{2} } }\right | }}$

Donde la recta debe estar expresada en su forma general también llamada forma implícita

Siendo la forma general:

$\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}$

Y como los valores del punto  $\bold {( x_{1} ,y_{1} ) }$ se toman las traslaciones horizontal h y vertical k (h, k) que representan el centro del círculo

Siendo la recta

$\large\boxed {\bold { 3x -4y +5= 0 }}$

La cual ya está expresada en la forma general

Siendo el punto el centro dado

$\large\boxed {\bold { C(h,k) = C(3,1) }}$

Reemplazamos los valores de los coeficientes de la recta dada y de las coordenadas del centro en la fórmula anterior para hallar el radio

Nótese que en la fórmula se busca el valor absoluto

Por lo tanto

$\large\boxed {\bold {d = \left|\frac{A \ (h) + B \ ( k)+ C }{ \sqrt{A^{2}+B ^{2} } }\right | }}$

El radio estará expresado en unidades

$\boxed {\bold {r = \left|\frac{(3)\ . \ (3) + (-4) \ . \ ( 1 )+5 }{ \sqrt{3^{2}+ (-4)^{2} } }\right | }}$

$\boxed {\bold {r = \left|\frac{9 -4+5 }{ \sqrt{9 +16 } }\right | }}$

$\boxed {\bold {r = \left|\frac{10 }{ \sqrt{25} }\right | }}$

$\boxed {\bold {r = \left|\frac{10 }{ 5 }\right| }}$

$\large\boxed {\bold { r =2 \ unidades }}$

El radio del círculo es de 2 unidades

b) Escribimos la ecuación de la circunferencia

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia

$\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h, k) = C (3,1) y radio = 2

$\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y-1)^2=2^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y-1)^2=4 }}$

Siendo la expresión la ecuación de la circunferencia solicitada expresada en la forma ordinaria o canónica

Podemos reescribir en la forma de la ecuación general de la circunferencia

La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:

Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado  

Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}$

Convertimos

$\large\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y-1)^2=4 }}$

A la ecuación general de la circunferencia

$\boxed{ \bold { x^{2} -6 x +9+ y^{2} -2y + 1 = 4 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} -6 x +9+ y^{2} -2y + 1 - 4 =0 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2} -6 x -2y +9 +1 - 4 =0 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2} -6 x -2y +10 - 4 =0 }}$

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-6 x -2y+6 = 0 }}$

Se adjunta gráfico