Question

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (6,4); (3,5) y (2,2).

Answer 1

【Rpta.】La ecuación de la circunferencia es x² + y² - 8x - 6y + 20 = 0.

                                 ${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

Recordemos que una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo C(h,k), al cuál llamaremos centro.

                                    $\overset{\mathsf{Ecuaci\acute{o}n\:de\:la\:circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\mathrm{x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}}}}$

                                    Donde E, D y F son constantes

En el problema, los puntos que nos da el enunciado debe cumplir la igualdad mencionada, entonces

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ primer\ punto: A=(\underbrace{\mathsf{6}}_{x_1},\underbrace{\mathsf{4}}_{y_1})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_1^2+y_1^2+Dx_1+Ey_1+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (6)^2+(4)^2+D(6)+E(4)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 36+16 + 6D + 4E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 52 + 6D + 4E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ 6D + 4E+F = -52}}}$

 

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ segundo\ punto: B=(\underbrace{\mathsf{3}}_{x_2},\underbrace{\mathsf{5}}_{y_2})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_2^2+y_2^2+Dx_2+Ey_2+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (3)^2+(5)^2+D(3)+E(5)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 9+25 + 3D + 5E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 34 + 3D + 5E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ 3D + 5E+F = -34}}}$

 

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ tercer\ punto: C=(\underbrace{\mathsf{2}}_{x_3},\underbrace{\mathsf{2}}_{y_3})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_3^2+y_3^2+Dx_3+Ey_3+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (2)^2+(2)^2+D(2)+E(2)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 4+4 + 2D + 2E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 8 + 2D + 2E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ 2D + 2E+F = -8}}}$

 

Ordenando la ecuaciones tendremos un sistema de ecuaciones lineales

                                              $\mathsf{ 6D + 4E+F = -52}\\\\\mathsf{ 3D + 5E+F = -34}\\\\\mathsf{ 2D + 2E+F = -8}$

 

Para resolverlo utilizaremos el método de determinantes, por ello escribiremos el sistema en forma matricial

                                               $\left[\begin{array}{rrr|r}6 & 4 & 1 & -52\\3 & 5 & 1 & -34\\ 2 & 2 & 1 & -8\end{array}\right]$

Calculamos la determinante principal

                                           $\mathsf{\Delta_P =\left|\begin{array}{rrr}6 & 4 & 1\\3 & 5 & 1\\ 2 & 2 & 1\end{array}\right|=10}$

Como la determinante es diferente que 0 diremos que el sistema tiene solución única, para determinar los valores de D, E y F utilizaremos las determinantes auxiliares.

✔ Determinante auxiliar para D

                                        $\mathsf{\Delta_D =\left|\begin{array}{rrr}-52 & 4 & 1\\-34 & 5 & 1\\ -8 & 2 & 1\end{array}\right|=-80}$

✔ Determinante auxiliar para E

                                        $\mathsf{\Delta_E=\left|\begin{array}{rrr}6 & -52 & 1\\3 & -34 & 1\\ 2 & -8 & 1\end{array}\right|=-60}$

✔ Determinante auxiliar para F

                                        $\mathsf{\Delta_F=\left|\begin{array}{rrr}6 & 4 & -52\\3 & 5 & -34\\ 2 & 2 & -8\end{array}\right|=200}$

Finalmente tenemos que:

                                           $\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:D=\dfrac{\Delta_D}{\Delta_P}=\dfrac{-80}{10}=-8}\\\\\\\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:E=\dfrac{\Delta_E}{\Delta_P}=\dfrac{-60}{10}=-6}\\\\\\\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:F=\dfrac{\Delta_F}{\Delta_P}=\dfrac{200}{10}=20}$

 

La ecuación de nuestra circunferencia sería:

                                     $\mathrm{\:\:\:\:\:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}\\\\\\\n\mathsf{x^2+y^2+(-8)x+(-6)y+(20)=0}\\\\\\\mathsf{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{x^2+y^2-8x-6y+20=0}}}}}$

                                          $\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{2 pt}\fbox{C\kern-6.8pt O}\hspace{2 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{2 pt} \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{2pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{2pt} \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}$