Question

Hallar la ecuación de la circunferencia qué pasa por los puntos (1,-4) y (5,2) y que tiene su centro en la recta x-2y+ 9=0

Solución es:x^2 + y^2+6x-6y-47=0

Es urgente ayudaaaa

Answer 1

La forma ordinaria de la recta es:

(x - h)² + (y - k)² = r²

(h, k) son las coordenadas del centro y r es el radio.

Planteamos las siguientes ecuaciones:

Pasa por (1, -4): (1 - h)² + (-4 -k)² = r²

Pasa por (5, 2): (5 - h)² + (2 - k)² = r²

Su centro pertenece a la recta: h - 2 k + 9 = 0

Hay 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

Igualamos las dos primeras y quitamos los paréntesis:

1 - 2 h + h² + 16 + 8 k + k² = 25 - 10 h + h² + 4 - 4 k + k²

Reducimos términos semejantes y ordenamos:

8 h + 12 k - 12 = 0

h - 2 k + 9 = 0

Tenemos un sistema 2 x 2, de lo que resulta:

h = - 3, k = 3; r² = 65

La ecuación de la circunferencia es:

(x + 3)² + (y - 3)² = 65

Quitamos los paréntesis:

x² + y² + 6 x - 6 y + 9 + 9 - 65 = 0

x² + y² + 6 x - 6 y  - 47 = 0

Adjunto dibujo con todos los elementos.

Mateo