hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por el punto (7, -5) y es tangente ala recta x-y-4=0 en el punto ( 3,-1)
Respuestas a la pregunta
Al decir que la recta es tangente, significa que una línea perpendicular a ésta pasa por el centro, entonces determinamos la ecuación de la recta perpendicular:
m=-1/(-1)=1
m'=-1/m=-1
y+1=-1(x-3)
y+1=-x+3
x+y-2=0 (Ec. 1)
Ahora, tomamos AB como el lado de un triángulo, entonces determinamos su mediatriz (punto medio y pendiente perpendicular)
Pm=(3+7/2,-5-1/2)=(5,-3)
m=(-1+5)/(3-7)=4/(-4)=-1
m'=-1/-1=1
y+3=x-5
x-y-8=0 (Ec. 2)
Hacemos un sistema de ecuaciones con las marcadas, donde:
x=5, y=-3
Entonces, el centro es (5,-3)
Sacamos el radio, el cual es la distancia del centro a (7,-5) o a (3,-1)
r=√(5-7)^2+(-3+5)^2=√(4+4)=2√2
La fórmula de la circunferencia es:
(x-5)^2+(y+3)^2=(2√2)^2
Elevamos, simplificamos e igualamos 0:
x^2-10x+25+y^2+6y+9=8
x^2+y^2-10x+6y+26=0
La ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A y es tangente a la recta L en el punto B es:
(x - 5)² + (y + 3)² = 8
¿Cómo es la ecuación de una circunferencia?
Una curva cerrada que se caracteriza porque la distancia de cualquier punto perteneciente a la curva y el centro es siempre igual.
Ec. Ordinaria: (x-h)²+(y-k)²= r²
Ec. General: Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0
siendo:
c: centro (h, k)
r: radio
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que pasa por A(7, -5) y es tangente a la recta L: x-y-4=0, en el punto B(3, -1)?
Evaluar los puntos en la ecuación de la circunferencia e igualar r;
(7 - h)² + (-5 - k)² = (3 - h)² + (-1 - k)²
Aplicar binomio cuadrado;
49 - 14h + h² + 25 + 10k + k² = 9 - 6h + h² + 1 + 2k + k²
74 - 14h + 10k = 10 - 6h + 2k
- 8h + 8k = - 64
- h + k = - 8
El centro de la circunferencia se encuentra sobre una recta que es perpendicular a L y pasa por B.
La pendiente de una recta perpendicular a otra se obtiene:
m₁ . m = -1
m₁ = -a/b = -1/-1 = 1
Sustituir: m = -1
Sustituir:
y - ( -1 ) = -1 ( x - 3 )
y + 1 = -x + 3
y + x = 2
- h + k = - 8 ===> - x + y = - 8
x = y + 8
Sustituir ;
y + ( y + 8) = 2
2 y = - 6
y = - 3
Sustituir;
x = - 3 + 8
x = 5
Sustituir h = 5, k = -3 en la ecuación;
(7 - 5)² + (-5 + 3)² = r²
r² = 8
Sustituir;
(x - 5)² + (y + 3)² = 8