Matemáticas, pregunta formulada por carlos2387dfs, hace 1 mes

hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por el punto (7, -5) y es tangente ala recta x-y-4=0 en el punto ( 3,-1)

Respuestas a la pregunta

Contestado por Dracovskii
3

Al decir que la recta es tangente, significa que una línea perpendicular a ésta pasa por el centro, entonces determinamos la ecuación de la recta perpendicular:

m=-1/(-1)=1

m'=-1/m=-1

y+1=-1(x-3)

y+1=-x+3

x+y-2=0 (Ec. 1)

Ahora, tomamos AB como el lado de un triángulo, entonces determinamos su mediatriz (punto medio y pendiente perpendicular)

Pm=(3+7/2,-5-1/2)=(5,-3)

m=(-1+5)/(3-7)=4/(-4)=-1

m'=-1/-1=1

y+3=x-5

x-y-8=0 (Ec. 2)

Hacemos un sistema de ecuaciones con las marcadas, donde:

x=5, y=-3

Entonces, el centro es (5,-3)

Sacamos el radio, el cual es la distancia del centro a (7,-5) o a (3,-1)

r=√(5-7)^2+(-3+5)^2=√(4+4)=2√2

La fórmula de la circunferencia es:

(x-5)^2+(y+3)^2=(2√2)^2

Elevamos, simplificamos e igualamos 0:

x^2-10x+25+y^2+6y+9=8

x^2+y^2-10x+6y+26=0

Contestado por luz781523
4

La ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A y es tangente a la recta L en el punto B es:

(x - 5)² + (y + 3)² = 8

¿Cómo es la ecuación de una circunferencia?

Una curva cerrada que se caracteriza porque la distancia de cualquier punto perteneciente a la curva y el centro es siempre igual.

Ec. Ordinaria: (x-h)²+(y-k)²= r²

Ec. General: Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

siendo:

c: centro (h, k)

r: radio

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que pasa por A(7, -5) y es tangente a la recta L: x-y-4=0, en el punto B(3, -1)?

Evaluar los puntos en la ecuación de la circunferencia e igualar r;

(7 - h)² + (-5 - k)² = (3 - h)² + (-1 - k)²

Aplicar binomio cuadrado;

49 - 14h + h² + 25 + 10k + k² = 9 - 6h + h² + 1 + 2k + k²

74 - 14h + 10k = 10 - 6h + 2k

- 8h + 8k = - 64

- h + k = - 8

El centro de la circunferencia se encuentra sobre una recta que es perpendicular a L y pasa por B.

La pendiente de una recta perpendicular a otra se obtiene:

m₁ . m = -1

m₁ = -a/b = -1/-1 = 1

Sustituir:  m = -1

Sustituir:

y - ( -1 ) = -1 ( x - 3 )

y + 1 = -x + 3

y + x = 2

- h + k = - 8 ===> - x + y = - 8

x = y + 8

Sustituir ;

y + ( y + 8) = 2

2 y = - 6

y = - 3

Sustituir;

x = - 3 + 8

x = 5

Sustituir h = 5, k = -3 en la ecuación;

(7 - 5)² + (-5 + 3)² = r²

r² = 8

Sustituir;

(x - 5)² + (y + 3)² = 8

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