Question

Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas x+y+4=0 y 7x-y+4=0 y tiene su centro en la recta 4x +3y -2=0

Answer 1

Respuesta:

Su centro de coordenadas (h,k) esta en la recta 4x+3y-2=0 , entonces:

$\mathsf{4h+3k -2 =0 \: \: \: \: \: \: \: \: (\alpha)}$

Además es tangente a las rectas x+y+4=0 y 7x-y+4 , entonces la distancia del centro (h,k) a la primera recta es igual a distancia del centro a la segunda recta y también será igual al radio de la circunferencia:

$\mathsf{ r = \frac{|h+k+4|}{\sqrt{1^2+1^2}}= \frac{|7h-k+4|}{\sqrt{7^2+1^2}}}$

$\mathsf{ r = \frac{|h+k+4|}{\sqrt{2}}= \frac{|7h-k+4|}{\sqrt{50}}}$

$\mathsf{ \frac{|h+k+4|}{\sqrt{2}}= \frac{|7h-k+4|}{5\sqrt{2}}}$

$\mathsf{ \frac{|h+k+4|}{1}= \frac{|7h-k+4|}{5}}$

$\mathsf{ 5|h+k+4|= |7h-k+4|}$

Hallando la primera ecuación:

$\mathsf{ 5(h+k+4)=+ (7h-k+4)}$

$\mathsf{ 5h+5k+20=7h-k+4}$

$\mathsf{2h-6k-16=0}$

$\mathsf{h-3k-8=0}$

Sumar está ecuación con la ecuación $\mathsf{ ( \alpha ) }$

$\mathsf{(h-3k-8)+(4h+3k-2)=0+0}$

$\mathsf{5h-10=0}$

$\boxed{\mathsf{h=2}}$

Sustituye:

$\mathsf{h-3k-8=0}$

$\mathsf{2-3k-8=0}$

$\mathsf{-3k=8-2}$

$\boxed{ \mathsf{k = -2}}$

Sustituye:

$\mathsf{ r = \frac{|h+k+4|}{\sqrt{2}}}$

$\mathsf{ r = \frac{|2-2+4|}{\sqrt{2}}}$

$\mathsf{ r = \frac{4}{\sqrt{2}}}$

$\mathsf{ r^2 = \frac{16}{2}}$

$\mathsf{ r^2 = 8 }$

Entonces la ecuación es:

$\mathsf{ (x-h)^2 + (x-k)^2 = r^2 }$

$\boxed{ \mathsf{ (x-2)^2 + (y+2)^2 = 8} }$

Hallando la segunda ecuación:

$\mathsf{ 5(h+k+4)=- (7h-k+4)}$

$\mathsf{ 5h+5k+20=-7h+k-4}$

$\mathsf{12h+4k+24=0}$

$\mathsf{3h+k+6=0}$

$\mathsf{9h + 3k + 18 = 0 }$

$\mathsf{ -9h-3k -18 = 0 }$

Sumar está ecuación con la ecuación $\mathsf{ ( \alpha ) }$

$\mathsf{(-9h -3k -18)+(4h+3k-2)=0+0}$

$\mathsf{-5h-20=0}$

$\boxed{\mathsf{h=-4}}$

Sustituye:

$\mathsf{3h+k+6=0}$

$\mathsf{3(-4)+k+6=0}$

$\mathsf{-12+k+6=0}$

$\boxed{ \mathsf{k = 6}}$

Sustituye:

$\mathsf{ r = \frac{|h+k+4|}{\sqrt{2}}}$

$\mathsf{ r = \frac{|-4+6+4|}{\sqrt{2}}}$

$\mathsf{ r = \frac{6}{\sqrt{2}}}$

$\mathsf{ r^2 = \frac{36}{2}}$

$\mathsf{ r^2 = 18 }$

Entonces la ecuación es:

$\mathsf{ (x-h)^2 + (x-k)^2 = r^2 }$

$\boxed{\mathsf{ (x+4)^2 + (y-6)^2 = 18 }}$