Question

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (3, -5) y radio 4. Graficar
en un sistema de coordenadas.

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

La ecuación de la circunferencia centrada en (a, b) y de radio r es

$(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$

Por tanto la la ecuación de la circunferencia de centro (3, -5) y radio 4 es

$(x-3)^2 + (y+5)^2 = 16$

Answer 2

El enunciado completo es el siguiente:

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (3, -5) y radio 4. Graficar en un sistema de coordenadas.

Respuesta:

1) Ecuación ordinaria de la circunferencia:

$\boxed{ \bold{ (x-3)^{2}+ (y+5)^{2} = 16 } }$

2) Ecuación general de la circunferencia:

$\boxed{ \bold{ x^{2} +y^{2} - 6x +10y +18= 0 } }}$

¿Qué es una circunferencia?

La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

De manera formal, una circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los puntos en el plano equidistantes de otro punto fijo, llamado centro de la circunferencia.

Es usual confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, cuando en realidad una circunferencia es una línea curva que encierra a un círculo y éste es la superficie encerrada por ella. En síntesis la circunferencia es una curva y el círculo una superficie.

¿Qué elementos tiene una circunferencia?

Una circunferencia está formada por:

• Centro: Punto medio de la circunferencia, ubicado en el centro de ella,  del que equidistan todos los demás puntos que la conforman.

• Radio: Cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.  Equivale a la mitad del diámetro.

• Cuerda: Es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.  

• Diámetro: Es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor longitud  tiene.  

• Arco: Es la porción de  circunferencia producto del trazado de una cuerda. Un arco se compone por 3 puntos: el centro y los 2 lugares donde la cuerda toca la circunferencia.

• Recta Secante: Es una línea que corta a la circunferencia en dos puntos.

• Recta Tangente:  Es una línea que, siendo perpendicular al radio, toca a la circunferencia en un solo punto.

Todos los elementos que conforman a una circunferencia pueden verse en el diagrama para una mejor comprensión.

La ecuación de la circunferencia:

La ecuación de la circunferencia se puede expresar de dos maneras:

1) Forma Ordinaria o Canónica

$\boxed{ \bold{ (x-h)^{2}+ (y-x)^{2} = r^{2} } }$

Dadas las coordenadas del centro de la circunferencia C (h,k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

2) Forma General

$\boxed{ \bold{ Ax^{2}+ Cy^{2}+Dx+Ey +F = 0 } }$

Donde x e y son las coordenadas de los puntos, D es una nueva literal que representa (-2h), E es una nueva literal que representa (-2k) y F una nueva literal que representa (h²+ k² - r²)  

Conociendo el centro y el radio de una circunferencia, construimos su ecuación ordinaria, y si desarrollamos las operaciones, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:

$\boxed{ \bold{ (x-h)^{2}+ (y-x)^{2} = r^{2} } }$

$\boxed{ x^{2} -2xh+h^{2} +y^{2} -2yk +k^{2} = r^{2}}$

$\boxed{ x^{2} +y^{2} - 2xh -2xk +k^{2} - r^{2}= 0}$

$\boxed{ \bold{ x^{2}+ y^{2}+Dx+Ey +F = 0 } }$

Procedimiento:

Datos que proporciona el problema:

• Circunferencia de Centro = C (3,-5)

• Circunferencia de Radio = 4

• Y de su Centro se obtiene : h = 3 y k = -5

Sabiendo el valor de h, k y r, se sustituye en la ecuación de la circunferencia.

1) Resolviendo para ecuación ordinaria de la circunferencia:

$\boxed{ \bold{ (x-h)^{2}+ (y-x)^{2} = r^{2} } }$

$\boxed{ \bold{ (x-3)^{2}+ (y-(-5))^{2} = 4^{2} } }$

$\boxed{ \bold{ (x-3)^{2}+ (y+5)^{2} = 16 } }$

2) Resolviendo para ecuación general de la circunferencia

$\boxed{ \bold{ (x-h)^{2}+ (y-x)^{2} = r^{2} } }$

$\boxed{ \bold{ (x-3)^{2}+ (y+5)^{2} = 4^{2} } }$

$\boxed{ \bold{ x^{2} - 2(3x)+3^{2}+y^{2} +2(5y)+5^{2} = 16 } }}$

$\boxed{ \bold{ x^{2} - 6x +9+y^{2} +10y +25 - 16= 0 } }}$

$\boxed{ \bold{ x^{2} +y^{2} - 6x +10y +18= 0 } }}$