Question

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación 6 - 2y + 6x - x² - y² = 0, y que pasa por el punto (-3,4)​

Answer 1

Explicación paso a paso:

La ecuación canónica de la circunferencia es:

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = {r}^{2}$

Donde (h, k) son las coordenadas del centro y r es la longitud del radio.

Como la circunferencia que se pide es concéntrica con 6-2y+6x-x²-y²=0 entonces, escribimos esta ecuación en forma canónica e identificamos las coordenadas del centro.

$6 - 2y + 6x - {x}^{2} - {y}^{2} = 0 \\ - {x}^{2} + 6x - {y}^{2} - 2y + 6 = 0 \\ {x}^{2} - 6x + {y}^{2} + 2y - 6 = 0 \\ {x}^{2} - 6x + 9 - 9 + {y}^{2} + 2y + 1 - 1 - 6 = 0 \\ {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 16$

Por lo que las coordenadas del centro son:

$c( 3, - 1)$

Ahora como conocemos las coordenadas del centro y sabemos que la circunferencia que nos interesa pasa por (-3,4), entonces la longitud del vector que une a la coordenada del centro y el punto donde pasa correspondrá al radio.

$\vec{pc} = c - p = (3, - 1) - ( - 3,4) = (6, - 5) \\ \\ r = | \vec{pc}| = \sqrt{ {(6)}^{2} + {( - 5)}^{2} } = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}$

Finalmente la ecuación de la recta que se pedía es:

${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = {( \sqrt{61} )}^{2} \\ \\ {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 61$