Question

Hallar la ecuación de la bisectriz que corta el ángulo formado por las rectas L1: 4x + 12y – 5 = 0 y L2: 3x – y – 17 = 0.
a.
25,31x – 50,57y – 199,25 = 0


b.
50,57x – 25,31y + 199,25 = 0


c.
12,41x – 24,68y – 99,25 = 0


d.
24,68x + 12,41y – 99,25 = 0

Answer 1

La ecuación de la bisectriz entre las rectas L1 y L2 es 1,265x+0,632y-7,921=0.

¿Cuál es la recta bisectriz del ángulo formado por dos rectas?

Una bisectriz divide a un ángulo en dos ángulos congruentes definiendo, por tanto, un eje de simetría axial del ángulo.

Tenemos que comenzar hallando los vectores directores entre las rectas:

$4x+12y=5\\\\4x-5=-12y\\\\4\frac{x-\frac{5}{4}}{-12}=y\\\\\frac{x-\frac{5}{4}}{-12}=\frac{y}{4}\\\\v_1=(-12,4)\\\\3x=y-17\\\\x=\frac{y-17}{3}\\\\v_2=(1,3)$

Para hallar un vector alineado con la bisectriz del ángulo podemos normalizar los vectores (hallar vectores paralelos cuyo módulo sea 1) y sumarlos:

$v_{1n}=\frac{v_1}{||v_1||}=(-\frac{12}{\sqrt{160}},\frac{4}{\sqrt{160}})\\\\v_{2n}=\frac{v_2}{||v_2||}=(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}})\\\\v_3=v_{1n}+v_{2n}=(-\frac{12}{\sqrt{160}}+\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{4}{\sqrt{160}}+\frac{3}{\sqrt{10}})\\\\v_3\simeq(-0,632,1,265)$

La recta tiene que pasar por el punto de cruce entre las dos rectas, para lo cual resolvemos el sistema de ecuaciones:

$4x+12y=5\\3x-y=17\\\\4x+12y=5\\36x-12y=204\\\\40x=209\\\\x=5,225\\\\12x+36y=15\\12x-4y=68\\\\40y=83\\\\y=2,075$

La ecuación continua de la recta bisectriz es:

$\frac{x-5,225}{-0,632}=\frac{y-2,075}{1,265}$

Y la ecuación implícita es:

$1,265(x-5,225)=-0,632(y-2,075)\\\\1,265x-6,61=-0,632y+1,311\\\\1,265x+0,632y-7,921=0$

Al graficar las dos rectas L1 y L2 (en negro) y la bisectriz (en verde) se puede verificar gráficamente lo calculado.

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