Question

hallar la distancia de d desde
a) la recta 8x+15y-24=0 al punto (-2, -3)
b) la recta 6x-8y+5=0 al punto (-1, 7)​

Answer 1

Recordemos que la distancia de un punto a una recta está definido como:

                    $\begin{array}{c}\boxed{\sf{\ d = \cfrac{|A(m) + B(n) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}\ }\\\\\sf{Siendo\ la\ recta\ Ax\ + By\ + C\ = 0\ y\ el\ punto\ (m,n)}\end{array}$

a) la recta 8x+15y-24=0 al punto (-2, -3)

Extraemos los datos del enunciado

            $\begin{array}{cccccccccccccc}\begin{array}{c}\circledast\quad\sf{A=(\underbrace{-2}_{\boldsymbol{\sf{m}}},\overbrace{-3}^{\boldsymbol{\sf{n}}})}\end{array}&&&&&\begin{array}{c}\circledast\quad\overleftrightarrow{\tt{L}}:\sf{\underset{\displaystyle\underset{A}{\downarrow}}{\ 8}x\underset{\displaystyle\underset{B}{\downarrow}}{\ +\ 15}y\underset{\displaystyle\underset{C}{\downarrow}}{\ -\ 24}=0}\end{array}\end{array}$

Reemplazamos estos datos en la fórmula

                                    $\begin{array}{c}\sf{d = \dfrac{\left|A(m) + B(n) + C\right|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}\\\\\sf{d = \dfrac{\left|\left(8\right)\left(-2\right) + \left(15\right)\left(-3\right) + \left(-24\right)\right|}{\sqrt{\left(8\right)^2 + \left(15\right)^2}}}\\\\\sf{d = \dfrac{\left|-16 - 45 - 24\right|}{\sqrt{64 + 225}}}\\\\\sf{d = \dfrac{\left|-85\right|}{\sqrt{289}}}\\\\\sf{d = \dfrac{85}{17}}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\sf{d = 5\ unidades}}}}\end{array}$

Rpta. La distancia del punto (-2, -3) a la recta "L" es de 5 unidades.

⚠ La demostración se encuantra en la imagen 1.

b) la recta 6x-8y+5=0 al punto (-1, 7)​

Extraemos los datos del enunciado

              $\begin{array}{cccccccccccccc}\begin{array}{c}\circledast\quad\sf{A=(\underbrace{-1}_{\boldsymbol{\sf{m}}},\overbrace{7}^{\boldsymbol{\sf{n}}})}\end{array}&&&&&\begin{array}{c}\circledast\quad\overleftrightarrow{\tt{L}}:\sf{\underset{\displaystyle\underset{A}{\downarrow}}{\ 6}x\underset{\displaystyle\underset{B}{\downarrow}}{\ -\ 8}y\underset{\displaystyle\underset{C}{\downarrow}}{\ +\ 5}=0}\end{array}\end{array}$

Reemplazamos estos datos en la fórmula

                                      $\begin{array}{c}\sf{d = \dfrac{\left|A(m) + B(n) + C\right|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}\\\\\sf{d = \dfrac{\left|\left(6\right)\left(-1\right) + \left(-8\right)\left(7\right) + \left(5\right)\right|}{\sqrt{\left(6\right)^2 + \left(-8\right)^2}}}\\\\\sf{d = \dfrac{\left|-6 - 56 + 5\right|}{\sqrt{36 + 64}}}\\\\\sf{d = \dfrac{\left|-57\right|}{\sqrt{100}}}\\\\\sf{d = \dfrac{57}{10}}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\sf{d = 5.7\ unidades}}}}\end{array}$      

Rpta. La distancia del punto "A" a la recta "L" es de 5.7 unidades.

⚠ La demostración se encuantra en la imagen 2.

                                            $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$