hallar en la parábola Y2=64x, el punto M más próximo a la recta 4x+3y-14=0, calcular la distancia "d" del punto M a esta recta.
Respuestas a la pregunta
Los puntos que minimizan la distancia de la recta a la parábola son P ((43-30√2)/2 , -24+20√2) y Q ((43-30√2)/2, -24-20√2 )
Para poder determinar el punto M lo único que debemos es observar si las curvas se intersectan y determinar los puntos de intersección, por lo que comenzamos
De la recta, se deduce que 4x = 14 - 3y ⇒ 64x = 16*14 -3*16y = 224 - 48y
Y por lo tanto
y² = 64x
y² = 224 - 48y
y² + 48y - 224 = 0
Si utilizamos la ecuación resolvente de segundo grado se ve que
ay² + by + c = 0 ⇒ y = ( -b ± √(b² - 4ac ) ) /2a
Entonces se tiene que
y² + 48y - 224 = 0 ⇒ y = (- 48 ±√(48² + 4*224) ) / 2 = (-48 ± √3200) / 2
y = (-48±40√2)/2 = -24 ± 20√2 = 4(-6±5√2)
Por lo tanto
x = y²/64 = [4(-6±5√2)]²/64 = (-6±5√2)² / 4 = (36 -+60√2 + 50)/4 = (18 -+ 30√2 + 25) / 2 = (43 - +30√2)/2
Como se ve, los puntos P ((43-30√2)/2 , -24+20√2 ) y Q ((43-30√2)/2, -24-20√2 ) Son donde la distancia de la parábola a la recta se minimiza, pues es cero