Question

hallar en el eje x un punto P de manera que la suma de sus distancias a los puntos A(1,2) y B(3,4) sea minima

Answer 1

Veamos: Sea P (x, 0) las coordenadas del punto buscado

La distancia de P hasta A es: d = √[(x - 1)² + (0 - 2)²]

Desde P hasta B: d = √[(x - 3)² + (0 - 4)²]

La suma de las dos es una función de x:

d(x) = √[(x - 1)² + 4] + √[(x - 3)² + 16]

La función pasa por su valor máximo o mínimo en los puntos en que su primera derivada es nula.

Derivamos:

d'(x) = 2 (x - 1) / [2 √[(x - 1)² + 4]] + 2 (x - 3) / [2 √[(x - 3)² + 16]] = 0

Trasponemos términos: (simplificamos)

 (x - 1) /√[(x - 1)² + 4] = - (x - 3) / √[(x - 3)² + 16]; elevamos al cuadrado

(x - 1)² / [(x - 1)² + 4] = (x - 3)² / [(x - 3)² +16]

Si invertimos las fracciones y simplificamos se obtiene:

4 / (x - 1)² = 16 / (x - 3)² ; luego:

(x - 1)² / 4  = (x - 3)² / 16; si sacamos raíz cuadrada:

x - 1 = 2 (x - 3); resulta x = 5/3

Por lo tanto el punto buscado es P(5/3, 0)

Reemplazando en d(x) resulta d = 6,32

Saludos Herminio