Question

Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R: y=x2 , y=8x−−√ alrededor del eje y=4 . El volumen se expresa en unidades cúbicas.

Answer 1

RESPUESTA:

Tenemos dos ecuaciones, tales que:

• y = x²
• y = √8x

Debemos girarlo alrededor de y = 4, para ello debemos plantear la ecuación de volumen mediante la integración:

V = ∫ₐᵇ π·r²(x) dx

Ahora, debemos saber que los volúmenes externos se suman y los volumenes internos se resta. Ademas, partiendo de la gráfica podemos observar que las funciones se interceptan en x = 2, entonces:

V = - ∫₀² π·(4-√8x)² dx   + ∫₀² π·(4-x²)² dx

Ahora simplemente debemos resolver cada integral, tenemos que:

∫₀² π·(4-√8x)² dx = ∫₀² π·(16 - 8√8x + 8x) dx

Resolvemos y tenemos:

I = 4x² - √2¹¹ · x³/²/3 + 16x |₀²

Evaluamos limite superior menos limite inferior y tenemos:

I = 16π/3

Ahora resolvemos la segunda integral:

∫₀² π·(4-x²)² dx = ∫₀² π·(16-8x² + x⁴) dx

Resolvemos y tenemos que:

I = 16x - 8x³/3 + x⁵/5|₀²

Evaluamos limite superior menos limite inferior y tenemos:

I = 256π/15

Ahora, nuestro volumen será:

V = - 16π/3 + 256π/15

V = 176π/15

Teniendo de esta manera el volumen del sólido revolución que se forma.