Question

Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las curvas y=3x, y, y=4x^2. Representar en Geogebra la región a rotar y anexar un pantallazo.

Answer 1

El volumen del sólido generado al rotar el eje y es:

V = 0,281π u³

En la imagen se puede ver el solido.

Explicación:

Ya que la rotación es en eje y, se toma como el diferencial (dy).

Dejar las funciones en función de y;

y = 3x

Despejar x;

x = y/3

y = 4x²

Despejar x;

x = √(y/4)

x = √y/2

Intersección entre ambas curvas:

y/3 = √y/2

Aplicar raíz cuadrada;

y²/9 = y/4

4y² = 9y

4y² - 9y = 0

Factor común y;

y(4y -9) = 0

y₁ = 0  →  x₁ = 0

y₂ = 9/4   →  x₂ = 4/3

El volumen es:

V = π∫[f(y)-g(y)]²dy

Siendo;

f(y) = √y/2

g(y) = y/3

Limites de integración;

y₁ = 0  

y₂ = 9/4

Sustituir;

$V=\pi\int\limits^{9/4}_0 {[\frac{\sqrt{y}}{2}-\frac{y}{3}]} \, dy$

$V=\pi(\frac{1}{3}y^{3/2} -\frac{y^{2} }{6}])^{9/4}_{0}$

$V=\pi(\frac{1}{3}(9/4)^{3/2} -\frac{(9/4)^{2} }{6}])$

V = 0,281π u³