Question

Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las curvas f(x)=e^x, y, g(x)=1/(x^2+1).

Answer 1

El volumen del sólido que se forma al girar f(x) = eˣ y g(x) = 1/(x²+1) diverge, es decir, el mismo tiende al infinito.

Explicación:

Inicialmente tenemos dos funciones:

1. f(x) = eˣ
2. g(x) = 1/(x²+1)

Buscamos el punto de corte entre las gráficas, tales que:

eˣ = 1/(x²+1)

(x²+1)·eˣ = 1

Esto se cumple cuando x = 0, por tanto y = 1.

Ahora, la integral irá desde y = 0 hasta y = 1, y esta girará en x =0 (eje y). Podemos verlo mejor en la gráfica.

Como girará alrededor del eje 'y' debemos dejar todas las funciones respecto a esta variable.

1. y = eˣ ⇒ x = ln(y)
2. y = 1/(x²+1)  ⇒ x = √(1/y - 1)

OBSERVACIÓN:  ninguna de las dos funciones existen en y =0.

Ahora, la integral por sólido revolución viene dada como:

• V = ∫π·r²(y) dy

Entonces, radios internos se suman, radios externos se restan, tenemos que:

• V = ∫₀₊¹ π·[√(1/y - 1)]²  - ∫₀₊¹ π·(lny)²  dy

OBSERVACIÓN: es importante resaltar que ambas integrales son impropias, ya que las funciones no existe en y =0, que es un limite de integración, por esta razón estudiamos desde 0⁺ (cero por la derecha) hasta el 1.

Ahora, resolvemos la primera integral, tal que:

I₁ = ∫₀₊¹ π·[√(1/y - 1)]²

I₁ = ∫₀₊¹ π·(1/y - 1) dy

I₁ = π·∫₀₊¹ (1/y - 1) dy

I₁ = π· [lny - y]₀₊¹

Aplicamos teoría de impropia, sustituimos el 0⁺ por una variable y sacamos el limite, tal que:

I₁ = lim(w→0⁺) [ln(1) - 1] - [lnw - w] = -∞

ANÁLISIS: la integral nos indica que diverge, con esto podemos concluir que el volumen del sólido que se forma tiende al infinito y no a un valor como tal.