Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las curvas f(x)=-x^3+4x^2-3x+1 y las verticales x=0 y x=3 Representar el sólido de revolución en Geogebra y anexar un pantallazo
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Hola CRISMARVC. la solución a tu pregunta es la siguiente:
El volúmen del sólido de revolución que se tiene al rotar el área encerrada entre las curvas f(x) = -x³+4x²-3x+1 y las verticales x=0 y x=3 es V = (99/5)π
Explicación paso a paso:
De los datos del problema
f(x) = -x³+4x²-3k-1
x = 0
x = 3
Generan un área que al ser rotada alrededor del eje y generan un sólido de revolución. Hay dos maneras de abordar este problema
(a) Tomar para los cálculos diferenciales dy, en cuyo caso habría que replantear la función para que presente a la variable y como la variable independiente.
(b) Tomar para los cálculos dx en cuyo caso, no habría que hacerle ningún cambio a la presentación de la curva f(x)
De las dos posibilidades las mas sencilla es la (b). De manera tal, que seguiremos ese camino
En consecuencia, la formula para calcular este volumen bajos estas condiciones es
V = 2π∫x(f(x)dx evaluada entre los puntos x=0 y X=3. Entonces no queda
V = 2π∫x(-x³+4x²-3x+1)dx
V = 2π∫(-x⁴+4x³-3x²+x)dx
V = 2π(-(1/5)x⁵+(4/4)x⁴-(3/3)x³+(1/2)x²) evaluada entre los puntos x=0 y X=3
Al evaluar en el punto x = 0
V(0) = 2π(-(1/5)(0)⁵+(4/4)(0)⁴-(3/3)(0)³+(1/2)(0)²) = 0
Al evaluar en el punto x = 3
V(3) =2π(-(1/5)(3)⁵+(4/4)(3)⁴-(3/3)(3)³+(1/2)(3)²)
V(3) = 2π(-(1/5)(243)+(4/4)(81)-(3/3)(27)+(1/2)(9))
V(3) = 2π(-243/5+81-27+9/2) = 2π(99/10)
V(3) = (99/5)π
Concluyendo
V = V(3) - V(0)
V = (99/5)π - 0
Con lo que V = (99/5)π que es la respuesta que estabámos buscando
Se adjunto una gráfica geoGebra en donde se distingue el área sometida a rotación
Para ampliar conocimientos sobre este tema se puede consultar brainly.lat/tarea/11136646
Espero haberte ayudado