Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación de un triángulo equilátero de 6cm de lado que gira alrededor de un eje que pasa por un vértice siendo el lado opuesto a este vértice paralelo al eje..ayuda plis
Respuestas a la pregunta
RESPUESTA:
Según el planteamiento el volumen viene dado por girar el triangulo equilátero alrededor el eje x = 0, por tanto ahora debemos buscar las ecuaciones de las dos rectas.
Ecuaciones de la recta vendrá dada por la ecuación:
y-y₀ = [(y₁-y₀)/(x₁-x₀)]·(x-x₀)
La recta de pendiente positiva tiene los puntos P₃(0,0) y P₁(3√3;3)
y-0 = (3-0)/(3√3 - 0) · (x-0)
y = √3·x → x = y/√3
La recta de pendiente negativa será igual solo que con signo menos.
y = -√3·x → x = -y/√3
Procedemos a calcular el volumen con métodos de integración, calculamos solamente la mitad del volumen y luego obtenemos el final:
V/2 = -∫₀³ π·(y/√3 - 0)² dy + ∫₀³ π·(3√3 - 0)² dy
V/2 = -π[y²/6]₀³ + [π·3y]₀³
V/2 = -π·3/2 +9·π
V/2 = 15π/2
V = 15π cm³.
Por tanto el volumen del solido originado por la rotación de la figura es respecto al eje es de 15π cm³.
