hallar el vértice de f(x)=x²-6x+9
Respuestas a la pregunta
La ecuación canónica de la parábola es
(x-h)²=4p(y-k)
Dónde
v=(h,k)
Debemos llevar la ecuación de la parábola que das a la forma canónica para calcular el vértice
Nota: Resolvamos rápido, pero después te enseño el proceso general
En este caso la función es un trinomio al cuadrado perfecto por lo que podemos factorizar muy fácil como un binomio al cuadrado.
f(x)=x²-6x+9
Factorizamos
f(x)=x²+2(-3)(x)+(-3)²
f(x)=(x-3)²
Llevamos a su forma canónica, llamando a f(x) como "y"
y=(x-3)²
1(y-0)=(x-3)²
(x-3)²=1(y-0)
Comparamos con la forma canónica
(x-h)²=4p(y-k)
(x-3)²=1(y-0)
v=(h,k)
v=(3,0)
Ese es el vértice
Ahora te pongo el procedimiento si la ecuación no fuera un trinomio al cuadrado perfecto, el procedimiento se llama "completar el trinomio cuadrado perfecto".
1. Llamemos a f(x) como "y"
y=x²-6x+9
2. Vamos a pasar el 9 al otro lado de la ecuación
y-9=x²-6x
3. Vamos ahora a completar el trinomio cuadrado perfecto del lado de donde se encuentra la variable x
- Iniciamos dividiendo entre dos el número que acompaña el término lineal (al número que acompaña a x)
- Luego sumamos ese resultado en ambos lados de la ecuación elevándolo al cuadrado
Termino lineal -6x
-6/2=-3
Elevamos al cuadrado
(-3)²=9
Sumamos ese resultado a ambos lados de la ecuación
y-9=x²-6x
y-9+9=x²-6x+9
Del lado derecho donde están las "x" ya tenemos el trinomio cuadrado perfecto por lo que podemos factorizarlo como un binomio al cuadrado
y-9+9=x²-2(3)(x)+(3)²
y=(x-3)²
Ahora escribimos la ecuación en su forma canónica
y=(x-3)²
(x-3)²=1(y-0)
Compramos con la ecuación canónica
(x-h)²=4p(y-k)
(x-3)²=1(y-0)
h=3
k=0
El vértice es
v=(h,k)
v=(3,0)
Esa es la respuesta
Respuesta final
v=(3,0)