Question

HALLAR EL VALOR MINIMO QUE PUEDE TOMAR LA FUNCION "f" DONDDE : f(x) =x² +5X +1

Answer 1

F(X) se trata de una función cuadrática, por ende, su gráfica será una parábola. 

La ecuación general de una función cuadrática, corresponde a: 

f(x) = ax² + bx + c. Donde a, b y c son números reales (constantes) y "a" distinto de cero ( a ≠ 0 ) 

Su forma factorizada, séra: 

f(x) = a ( x - x1) ( x - x2). 

Además, 

si a > 0 : sus ramas irán para arriba, la parábola crecerá en el infinito 

si a < 0: sus ramas irán para abajo, la parábola decrecerá en el infinito. 

De la ecuación general de la función cuadrática, sabemos que "c" corresponde a un punto de dicha función. f(x) = c cuando x = 0, f(0) = c 

Como toda función polinómica, su dominio son todos los reales. Para cualquier valor que tome x, la función tiene imagen, es decir, está definida. 

Teniendo en cuenta, todo lo que se ha dicho anteriormente, procederemos a buscar el rango de la función, ya que su dominio serán todos los reales (-∞;+∞). 

Para este tipo de ejercicio es muy recomendable graficar. Te será muy útil. 

F(x) = -x² + 5x - 4 

Buscamos su expresión factorizada, hallando sus raíces. 

F(x) = (-1) (x - 1) (x - 4) 

Procederemos a graficarla. 
Gracias a nuestro querido Google, la gráfica, será: 
https://www.google.com.ar/#hl=es&sclient... 

Pero como bien sabemos, en un examen, no vamos a poder utilizarlo. :( 

Para graficar esta parábola, debemos encontrar su vértice. 

Hay una formulita "mágica" para eso; se trata de x = (-b) / 2a. Ella se deduce de la forma canónica de la función. 

Luego de obtener el valor de x, reemplazamos éste en la ecuación general, así obtenemos su imagen. 

Entonces: 

x = (-b) / 2a 

x= (-5) / 2 (-1) 

x= 5/2 

Ahora sustituímos en la expresión general. 

F(5/2) = -(5/2)² + 5(5/2) - 4 

F(5/2) = -25/4 + 25/2 - 4 

F(5/2) = 9/4 

Por lo tanto, el valor extremo de dicha función corresponde a la coordenada (5/2;9/4) 

Representamos todos los puntos obtenidos hasta el momento, en un sistema de coordenadas: 

Vértice: (5/2;9/4) 
Raíces: (1;0) y (4;0) 
Valor c: (0;-2) 

Si fuese necesario, hacemos la tablita de valores. 

Como podemos observar. 

El rango de la función es (-∞; 9/4] = (-∞; 2,25] 

Cualquier duda que tengas, me la haces llegar. ¡Suerte!