Hallar el valor del parametro K en la ecuación 2x+3y+K=0 de forma que dicha recta forme con los ejes coordenados un triángulo de área 27 unidades de superficie.
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Usamos la forma segmentaria de la ecuación de la recta.
x/a + y/b = 1 (*)
a es la abscisa del punto para y = 0
b es la ordenada para x = 0
Se forma un triángulo rectángulo de catetos a y b
El área es a b / 2 = 27; o bien a b = 54
La pendiente de la recta (*) es m = - b/a
La recta buscada debe ser paralela a la recta dada; su pendiente es:
m' = - 2/3 = - b/a
Es decir b/a = 2/3: a b = 54
Tenemos un sistema de dos ecuaciones en a y b
Las multiplicamos: b/a . a b = 2/3 . 54 = 36
Es decir b² = 36, b = 6; a = 9
La recta que forma el triángulo de área 27 es
x/9 + y/6 = 1; o bien 6 x + 9 y = 54
Si es la misma que 2 x + 3 y = - k; se cumple que
6/2 = 9/3 = - 54/k = 3; k = - 18
K = - 18
Recta: 2 x + 3 y - 18 = 0
Se adjunta gráfico.
Mateo
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