Question

hallar el valor de z en el siguiente sistema
xy + x+y=23
xz + x+z=41
yz + y+z=27

Answer 1

❶ xy + x+y=23
❷ xz + x+z=41
❸ yz + y+z=27

Puede que haya una manera más facil , lo hice así, de la ecuación ❶ :

Despejar "x" :
x(y+1) + y = 23

x = 23 - y
     ______                   ( y ≠ -1)
      y  + 1

Luego reemplazar esta "x" en la ecuación ❷ :

23-y                  23- y
____ * z    +   ________    +   z  = 41   / ( Amplificando por (y+1)) 
y  + 1                 y + 1 


(23-y)z + 23-y + z(y+1) = 41(y+1)
23z - yz + 23 - y + yz + z = 41y + 41
24z - 42y = 18 / : 2
12z - 21y = 9

Despejando "y" :

y = 12z - 9
    ________
        21

Luego reemplazando "y"  en ❸ :

(12z-9)z           12z - 9 
________   +    ______   +  z   = 27          / Multiplicando por 21
       21                21

z(12z-9) + 12z - 9 + 21z = 567
12z² - 9z + 12z - 9 + 21z = 567
12z² + 24z - 576 = 0 / :12

z² + 2z - 48 = 0

Factorizando:
(z + 8)( z - 6) = 0

Valores de z :
$z_{1} = -8 \\ z_{2} = 6$

Esos serían los "valores" de z.

No sale 1 valor como en un sistema normal , se debe a los productos xy , xz,yz , La verdad no me imagino el sentido geómetrico , deben ser unas hiperbolas intersectadas en R^n , pero por álgebra estos serían los valores .
Si reemplazas en los sistemas te quedarán soluciones distintas :
z = 6 => x = 5 , y = 3
z = -8 => x = -7 , y =-5

 
Saludos.