Matemáticas, pregunta formulada por Cärliittös, hace 1 año

Hallar el valor de X en :

e ^{2x} - 2e ^{-2x} - 1 =0

Respuestas a la pregunta

Contestado por Jeizon1L
1
e^{2x} - 2e^{-2x}-1=0

• Cambio de variable:    e^{2x} = z

⇒  z - 2z^{-1} - 1 = 0

z -  \frac {2}{z}  = 1

  \frac {z^2-2}{z}  = 1

  z^2-2  = z

  z^2-z - 2  = 0

OJO.  -z = -2z + z , asi que:

 z^2-2z + z - 2 = 0

\ \

z(z-2) + (z-2) = 0

\ \

(z+1)(z-2) = 0

Para que la igualdad sea cierta, igualamos a cero cada factor:

⇒  z+1 = 0            ∨    z - 2 = 0
     z = - 1                         z = 2

Como:
          
e^{2x} = z

\ \

ln(e^{2x}) = ln( z)

\ \

2x ln(e) = ln(z)

\ \

2x = ln(z)

\ \

x =  \frac{ln(z)}{2}


Caso 1:  si z = -1 , entonces:

x =  \frac{ln(-1)}{2}

pero como ln(-1) , no existe , descartamos que z = -1

Cas 2: si z = 2 , entonces:

x =  \frac{ln(2)}{2}


Rpta:

\boxed{x = \frac{ln(2)}{2} = ln( \sqrt{2} )}



Eso es todo! Saludos :)

Jeizon1L: haha, xD
Contestado por F4BI4N
1
Hola :) ,

Lo más conveniente aquí es realizar un cambio de varible ;

e ^{2x} - 2e ^{-2x} - 1 =0 \\ \\
e^{2x} -  \frac{2}{e^{2x}} = 1 \\ \\
u = e^{2x} \\ 
Remplazamos:\\
u -  \frac{2}{u} = 1 / * u \\ 
u^{2} - u - 2 = 0 \\
(u-2)(u+1)=0 \\
u_{1} = 2 \ \ \ u_{2}=-1

Teniendo estas soluciones reemplazamos ,

Primero observemos que la solución u2 da un número negativo :
Si reemplazamos en nuestro cambio :

-1 = e^{2x} ,
pero la exponencial nunca es negativa , por lo tanto descartamos esta solución , además aplicando ln ;
ln(-1) = 2x , ln(-1) no está definido.

Ahora bien , la segunda solución si es posible :

2 = e^{2x} / \ \ln() \\
ln 2 = 2x \\ \\
x =  \frac{ln2}{2}

Ese sería el valor de x ,
Saludos.



Cärliittös: gracias :)
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