hallar el valor de n para que el numero n= 9x12ⁿ tenga 150 divisores
Respuestas a la pregunta
Considerando que el número N = 9x12ⁿ debe tener 150 divisores, tenemos que el valor de n, para que el número N tenga 150 divisores, debe ser 7.
¿Qué es un divisor?
Decimos que un número es divisor de otro si este lo divide de manera exacta.
Resolución del problema
Tenemos la siguiente expresión:
N = 9x12ⁿ
Procedemos a reescribir la expresión como la multiplicación de puros factores primos:
N = 3²·(3·2²)ⁿ
N = 3²·3ⁿ·2²ⁿ
N = 3²⁺ⁿ·2²ⁿ
Ahora, el número de divisores se define como:
d = (2 + n + 1)·(2n + 1)
Sabiendo que el número debe tener 150 divisores, entonces:
150 = (2 + n + 1)·(2n + 1)
Simplificamos y obtenemos el valor de n:
150 = (3 + n)·(2n + 1)
150 = 2n² + 7n + 3
2n² + 7n + 3 - 150 = 0
2n² + 7n - 147 = 0
Aplicando tanteo, tenemos que:
- n₁ = 7 ✔
- n₂ = -21/2
Tomamos la solución positiva, por tanto, el valor de n debe ser 7.
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