Question

hallar el valor de N para que el numero de la forma P =30x12 elevado a la n ,tenga 120 divisores

Answer 1

Tenemos que hallar el valor de N para que el número de la forma P=30x12 elevado a la n, es decir $P = 30*12^n$ tenga 120 divisores, este valor de N es de 7/3 es decir $N = \frac{7}{3}$

Planteamiento del problema

Tenemos que buscar la descomposición canónica de cada uno de los términos  $P = 30*12^n$ y de 120. Nuestra descomposición canónica va a ser la siguiente.

                                              $30 = 2*3*5$

                                              $12 = 2^2*3$

                                             $120 = 2^3*3*5$

Ahora vamos a sustituir en nuestro valor de P y luego desarrollamos

$P = (2*3*5)(2^2*3)^n = 2*3*5*2^{2n}*3^n = 2^{2n+1}*3^{3n+1}*5$

Ahora vamos a igualar a la cantidad de divisores 120 a la multiplicación de cada una de las potencias del número P sumándole 1 a cada término, quedaría de la siguiente forma.

                         $120 = (2n+1+1)*(3n+1+1)*(1+1)$

Vamos a terminar de desarrollar la expresión anterior para tener

$120 = (2n+2)*(3n+2)*2 = 4(n+1)*(3n+2) = 2^2(n+1)*(3n+2)$

Igualamos a 0 para despejar el valor de $n$

                                       $12n^2+20n-112=0$

Tenemos entonces dos valores , $n_1 = -4$ y $n_2 = \frac{7}{3}$ vamos a tomar el valor de $n_2$

Vemos entonces que el valor de N es de N = 7/3

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